3-2 Cauchy积分定理.pptVIP

* 定义2.3 不定积分的定义: 定理3.8 (复积分的Newton-Leibnitz公式) * 证 根据柯西基本定理, [证毕] 说明: 有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算. * 例2.2’ 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, 例2.2” 解 使用“凑微分” * 例2.2 解 由牛顿-莱布尼兹公式知, * 例2.2 另解 使用:“分部积分法” * 小结与思考 1. 求积分的方法 (4) Cauchy积分定理 (6) 复积分的Newton-Leibniz公式 (5) 复合闭路定理 * 2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它是本章的难点. 常用结论: 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容. * 4. 解析函数在单连通域内积分的牛顿–莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿–莱布尼兹公式有何异同? 答案 两者的提法和结果是类似的. 两者对函数的要求差异很大. 第二节 柯西积分定理 3.2.1 Cauchy积分定理 3.2.2 Cauchy定理的推广 3.2.3 复闭线情形的Cauchy定理 3.2.4 不定积分 * 转换为 若复积分与路径无关,则做过两点a(起点), a b b(终点)的任意曲线，我们得到一条 C C2 C1 闭曲线C，记 因为积分与路径无关,所以: 研究复积分与路径的无关性 研究函数沿着闭曲线的积分为零 * 结论1:若函数f(z)的积分与路径无关, 若对任意闭曲线C,f(z)沿着C的积分为零, 则对任意两条以a为起点,b为终点的曲线C1,C2,令: C2 C1 a b 则C是闭曲线，从而： 结论2: 函数f(z)的积分与路径无关, * 观察上节例1.1 观察上节例1.2 目的研究 函数沿着闭曲线的积分为零 的条件？ 猜测! * 沿闭曲线的积分值为零的条件可能与 被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。 先将条件加强些，作初步的探讨 观察上节例1.3 1825年Cauchy给出的条件 * 1851年Riemann给出了这个简单证明 * B C 古萨特 * (3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。 几点说明： B * Morera定理 上面的两个定理的一般性证明，参见《复变函数》 * 2. 多连通区域上的Cauchy定理 观察者 * 定理2.3. 闭路变形原理（以2连通区域为例） ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ ︵ * 得 ︵ ︵ ︵ ︵ 说明: 在变形过程中曲线不经过函数 f(z) 的不解析的点. * 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 闭路变形原理 * 把2-连通区域推广到(n+1)-连通区域上的积分 这个定理是计算闭曲线内部有奇点的积分的有利武器!!! (图见下页) * 打洞! * 解 依题意知, 例2.1 根据复合闭路推论2.1, * Cauchy定理 重要公式 Cauchy定理 重要 公式 * 例2.2 解 圆环域的边界构成一条复合闭路, 根据闭路复合定理, * 例2.3 解 * 由复合闭路定理, 此结论非常重要, 用起来很方便, 因为C不必是圆, a也不必是圆的圆心, 只要a在简单闭曲线C内即可. 重要积分公式 Cauchy积分定理 * 2.3原函数与不定积分 定理2.2 1. 带变动上限的积分: * 定理2.4 * 证 利用导数的定义来证. * (1)积分与路线无关 * * 由积分的估值性质, * 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似. [证毕] * (1) 积分与路线无关, 定理2.4可以改写为: 定理2.4’ (1) f(z)在D内的积分与路线无关, 由于在证明过程中只用到了两个结论: * 定义2.2. 原函数的定义: 原函数之间的关系: 证 * 那末它就有无穷多个原函数, 根据以上讨论可知: [证毕]