第五章 等参元和数值积分.ppt

5.1 任意四边形单元 5.1 任意四边形单元 5.2 等参元的概念和单元矩阵的变换 5.3 数值积分 5.4 本章小结 * 第五章 等参元和数值积分 1 2 0 4 3 母单元 x y 1 2 3 4 四边形单元 对任意一个四边形单元，只要恰当选择单元自然坐标ξ、η，就得到在ξ、η域的正方形单元。称ξ、η域的正方形单元为母单元。 这个变换要实现一点到一点的对应，例如，对角点。 1 2 0 4 3 母单元 x y 1 2 3 4 四边形单元 位移场函数: 或记为矩阵形式: 坐标变换: 一、 坐标变换 二、单元应变与应力 的子块应是： 与 算 是ξ、η的函数。 三、单元刚度矩阵 体力的等效结点力： 1 2 0 4 3 母单元 x y 1 2 3 4 四边形单元 面力的等效结点力： 一、等参元的概念 位移场函数: 坐标变换: 等参元或同参元 超参元 次参元 1.一维单元的平面坐标变换 2 1 y x 2 1 2 1 3 y x 2 1 3 y x 2 1 3 4 2 1 3 4 2.二维单元的平面坐标变换 y x y x 子单元 母单元 3.二维单元的平面坐标变换 子单元 母单元 二、等参元的单元矩阵变换 ② 将整体坐标系中的体积（面积）积分转换为在局部坐 标系中的体积（面积）积分； ① 计算用局部坐标表示的形函数 对整体坐标 的(x,y,z)偏导数； ③ 用数值积分计算出 。 (1) 导数之间的变换 平面问题 (2) 体积微元和面积微元之间的变换 y x z (2) 体积微元和面积微元之间的变换 体积微元的变换 设 ，ξ面上 因为： 在η、ζ面上也类似。 (2) 体积微元和面积微元之间的变换 y x z 面积微元的变换 平面问题 y x 在 的曲线上（坐标线）的弧微分 (3) 面积坐标与整体坐标之间的变换 1. 体积坐标(面积坐标)不完全独立 此时，母单元为 一般体积分 在 表面上， ，表面上可写为： (3) 面积坐标与整体坐标之间的变换 2. 积分公式 L3 L2 L1 (4) 单元特性矩阵变换 1. 自然坐标为： 在η=c、ζ=c面上也类似。 2. 自然坐标为： (4) 单元特性矩阵变换 单元内点号次序错，造成 ，不允许； b. 两点同一造成 ，不允许； c.单元形状不能太长，太歪，至少影响精度，过分严重的会影响整个方程组的解。 1 x y 3，4 2 1 2 3 4 x y 1 x y 3 2 4 一、一维数值积分 ξi为积分点或取样点，Ai为积分权系数或权数，n为积分点数。 对于不同的积分点数n，ξi、Ai是确定的。 构造一个多项式 ,在n个点上 上有: Newton-Cotes数值积分和高斯积分 1. 基本思想 2. Newton-Cotes数值积分 ① 多项式 的构造 ② 权系数的确定 2. Newton-Cotes数值积分 ③ 积分点的确定 积分点的位置按等间距分布。如 积分区域为[a,b],则积分点为 ④ 精度 n个积分点的Newton-Cotes数值积分可达到n-1阶精度。 n个积分点可否达到更高阶精度？ 2. 高斯（Gauss）积分 ① 多项式 的构造 n次多项式 2n-1次多项式 ② 积分点的确定 n个积分点 ③ 权系数的确定 2. 高斯（Gauss）积分 n个积分点 0 ④ 精度 n个积分点的Newton-Cotes数值积分可达到2n-1阶精度。 2. 高斯（Gauss）积分 2n-1次多项式 n个积分点 非等间距分布 例： 用两点高斯（Gauss）积分近似计算 解： 积分点的确定 权系数的确定 *