线性代数（经管类）第一章第2节.pptVIP

§1.2 行列式的性质与展开 * * 1、 将其行列互换 对行列式 得到 称为D的转置行列式 有 行列式的行列地位相同 2、 行列式中任一行或列的公因子可放到行列式符号外 2.1 行列式中任一行或列的元全为零,则行列式为零 2.2 行列式中每一个元乘以k,则其值为原行列式 倍 3、 行列式的某两行或列互换,行列式改变符号 3.1 行列式中某两行或列相同,则行列式为零 3.2 行列式中某两行或列成比例,则行列式为零 5、 把行列式第j行的k倍加到第i行,行列式不变 4、 行列式中某一行或列的元均可表示为两个元之和 则行列式可表示为如下两个行列式之和 利用行列式性质计算： 目标 化为三角形行列式 例 解 例 奇数阶反称矩阵的行列式为零 证明 设A为(2n-1)阶反称矩阵,则有 将 中每行提取公因子(-1),得 结合 例 例 原式= n阶行列式中,元 的余子式 ,就是划掉元 定义 所在的第i行和第j列,所余下元按原顺序排成的n-1阶行列式 记元 的代数余子式为 n阶行列式D的值等于它的任一行 行列式的展开定理 或列的元与其对应的代数余子式乘积之和 根据行列式的第一个性质:行列式的行列地位相同 上面两个式子我们只需要证明一个 证明 (1) 假定行列式D的第一行除 外都是 0 . 由行列式定义,D 中仅含下面形式的项 其中 恰是 的一般项, 所以, (2) 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 . 把D转化为(1)的情形 把 D 的第 行依次与第 行,第 行,······, 第2行,第1行交换; 列依次与第 列, 第 列,······, 第2列,第1列交换, 再将第 次交换行与交换列的步骤. 这样共经过 由性质2,行列式互换两行或列行列式变号. 得, (3) 一般情形 证毕. 行列式任一行或列的元素与另一行或列的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零,即 推论: 证明： 由定理1.1,行列式等于某一行的元素分别与它们 代数余子式的乘积之和. 在 中，如果令第 i 行的元素等于 另外一行，譬如第 k 行的元素 则, 右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 。 第i行 综上，得公式 在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 例 箭形行列式 例 箭形行列式 例 用行列式来表示三角形的面积 则 三角形的三个顶点坐标分别为 (2) (1) 如图 ,其中 则 证明 (1) (2) 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明: 用数学归纳法 (1) 当n=2时, 结论成立。 (2) 假设n－1阶范德蒙德行列式成立,那么 第2行减去第1行的 倍 第3行减去第2行的 倍 第n-1行减去第n-2行的 倍 第n行减去第n-1行的 倍 n-1阶范德蒙德行列式 证毕. 用降阶法 (按行按列展开) 计算行列式的值。 动动笔 =57