第9课时 导数在研究函数中的应用.docVIP

第9课时 导数在研究函数中的应用-单调性 教学目标： 1.通过实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系； 2.通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较,体会导数方法在研究函数性质中的一般性质和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律. 教学重点：利用导数判断函数单调性. 教学难点：利用导数判断函数单调性. 教学过程： 一.问题情境: 导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势(上升或下降的陡峭程度),而函数的单调性也是对函数变化趋势的一种刻画,那么,导数与函数的单调性有什么联系? 二.学生活动 以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间上的减函数. 即如果函数f(x)在区间上的增函数,那么, 对于任意的两个数x1，x2∈, 有x1x2与f(x1)f(x2)同号, 从而有即.这表明,导数大于0与函数单调递增密切相关. 三.建构数学 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像 可以看到： 区间 f′(x) 切线的斜率 y=f(x)=x2－4x+3 (2，+∞) ＞0 正 增函数 (－∞，2) ＜0 负 减函数 在区间（2，＋∞）内，0,或切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即函数y=f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，0, 切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数. 一般地，对于函数 , 如果在某区间上，那么为该区间上的增函数；如果在某区间上，那么为该区间上的减函数 . 注:1.上述结论可以结合课本图来直观理解; 2.试结合进行思考:如果在某区间上是增函数,那么在该区间上必有吗? 2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间. 四.数学运用 例1. 确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数.(课本例1) 例2. 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪些区间上是增函数. (课本例2) 例3. 确定函数的单调减区间. (课本例3) 例4. 已知函数y=x+，试讨论此函数的单调区间. 解：y′=(x+)′ =1－1·x－2= 令＞0. 解得x＞1或x＜－1. ∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. ∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 例5.(备用)设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线. （1）用表示a，b，c； （2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围. 解：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以 而 将代入上式得 因此故，， （2）解法一:. 当时，函数单调递减. 由，若；若 由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则 所以 所以的取值范围为 解法二： 因为函数在（－1，3）上单调递减，所以在（－1，3）上有. 所以 即解得 所以的取值范围为 练习： 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3 答案:(1)单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2), 单调减区间是(2，4); (2)单调增区间是(－，),单调减区间是(－∞，－)和(，+∞). 2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间. 解：单调增区间是(－，+∞),单调减区间是(－∞，－) 3.求下列函数的单调区间(1)y= (2)y= (3)y=+x (1)解：y′=()′=,∵当x≠0时，－＜0，∴y′＜0. ∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y′=()′ 当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0. ∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y′=(+x)′. 当x＞0时+1＞0，∴y′＞0. ∴y=+x的单调增区间是(0，+∞). 五. 回顾小结 ： f(x)在某区间内可导，可以根据＞0或＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数. 六.导数及其应用作业9答案: 1. (1)函数是减函数的区间为 (2)函