4.2 渐开线.docVIP

§4　平摆线和渐开线 4.1　平摆线 4.2　渐开线 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是(　　) A．只有圆才有渐开线 B．平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C.对A，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故A不正确；对B，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此B不正确；C正确；对D，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． 2．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为(　　) A．π　　　　　　 　　　 B．3π C．4π D．9π 解析：选D.把已知点(3,0)代入参数方程得 ①×cosφ＋②×sinφ得r＝3， 所以基圆的面积为9π.故应选D. 3．半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是(　　) A．π B．2π C．12π D．14π 解析：选C.根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)．把y＝0代入可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．故应选C. 4．平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是(　　) A．(π－2,2) B．(3π＋2,2) C．(π－2,2)或(3π＋2,2) D．(π－3,5) 解析：选C.由y＝2得2＝2(1－cost)，∴cost＝0. ∵0≤t≤2π，∴t＝或π. ∴x1＝2＝π－2， x2＝2＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)． 5．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为(　　) A.－1 B. C. D. 解析：选C.根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得 即A， ∴|AB|＝＝. 6．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为(　　) A.(φ为参数) B.(φ为参数) C.(φ为参数) D.(φ为参数) 解析：选B.关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换． 7．给出圆的渐开线的参数方程 (φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________． 解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 所以基圆半径r＝4.然后把φ＝代入方程，可得， 即. 所以当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)． 答案：4　(2π，4) 8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________． 解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12. 答案：12 9．已知平摆线的方程为(θ为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________． 解析：由已知方程可化为，知基圆半径为r＝1，∴拱高＝2r＝2，周期为2π. 答案：2　2π 10．如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH的长. 解：.根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长度是5π. 11．有一轮子沿着直线轨道滚动，轮子半径为r，在轮幅上有一点P与轮子中心的距离为a(a＜r)，点P的轨迹叫作短摆线，求它的参数方程． 解：设圆滚动所沿直线为x轴，圆心和P点连线为y轴建立坐标系，圆滚动θ角后圆心在B且与x轴切于点A，作PD⊥Ox，PC⊥BA，垂足分别为D、C，那么OA＝＝rθ， 设P(x，y)， 则， ∴所求参数方程为. 12．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0. (1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程． 解：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半