5.2平面向量的数量积doc.docVIP

§5.2 平面向量的数量积 向量的工具性主要体现在向量的数量积运算，利用平面向量的数量积可以解决长度、夹角以及平行、垂直等问题． 一、知识回顾 1．两个非零向量的夹角 已知两个非零向量，作，则叫做向量的夹角，记作． （1） （2）当同向时，；当当反向时，； （3）当的夹角是时，称与垂直，记作． 说明：①求向量的夹角时，一定要注意是“共起点”还是“首尾相接”②零向量不与其它任何向量之间谈夹角问题. 2．两个向量数量积的定义 （1）代数定义 两个非零向量的数量积；规定：． 当时，，这时， （2）几何定义 已知两个非零向量，作，过作于，则∥，其中是与同向的单位向量．由共线向量定理可知：，其中．称为向量在方向上的投影，且．从而，两个非零向量的数量积等于向量的长度与向量在方向上的投影 的乘积． 说明：投影是数，可正、可负、可零，投影的绝对值是长度；射影是向量。 练习5 1、设为平面向量，给出下列命题： （1）；（2）；（3）； （4）若，则或；（5）若，且，则． 其中正确命题的个数是 ．0 ．1 ．2 ．3 2．已知向量满足，则 ． ．2 ．1 ． 3．若，且，又与也互相垂直，则实数的值为 ．3 ．6 ．－3 ．－6 （选做）已知平面上直线的方向向量，点和在上的射影分别是，则，其中 ． ． ．2 ．-2 3．向量数量积的性质 设都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 （1） ；（2） ；（垂直的充要条件） （3）当与同向时， ；当与反向时， ； 特别地， 或 ；（向量长度公式） （4） ；（向量夹角公式）（5） ． 练习6 1．在⊿中，是中线上的一个动点，若，则的最小值是 ． 2．已知向量满足，且，那么 的值为　　　　　　　　　　． 3．已知． （1）若的夹角为，求的值； （2）若，求的夹角． （选做）已知，的夹角为，若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 第4课时 平面向量的坐标运算 向量的表示方法除了几何表示（有向线段）、字母表示，还有坐标表示．向量的坐标表示使向量完全代数化，于是就可以用代数方法来研究几何问题，如几何中的平行、垂直、夹角以及长度等问题就可以转化为方程或方程组来处理． 一、知识回顾 1．向量的坐标表示 （1）在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数，使得．我们把称为向量的（直角）坐标，记作：，其中叫做在轴上的坐标，称为在轴上的坐标． （2）在直角坐标平面内，以原点为起点作，则点的位置由唯一确定．设，则向量的坐标就是点的坐标；反之，点的坐标就是向量的坐标． 由上述可知：以原点为起点的向量的坐标就是终点的坐标． （3）点，则 ．因此，， 即：一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 2．向量的坐标运算 设，则 （1）； （2）； （3）； （4）． 练习7 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足，其中，且，则 ． ． ． ． 2．已知，且向量与的方向相反，则实数 ． ． ． ． 3．设，点是线段上的一个动点，．若，则实数的取值范围是 ．　　　 　． ．　　． 3、向量坐标形式下的定理、公式 设，则 （1）； （2） ； （3）若，则⊥ ； （4）； （5）设，则； （6）． 练习8 1．设为坐标平面上三点，为坐标原点，若与在 方向上的投影相同，则与满足的关系式为 ． ． ． ． 2．⊿的三内角所对的边长分别为．设向量，．若∥，则角的大小为 ．　　　．　　　．　　　． 3．已知向量，向量与向量的夹角为，且． （1）求向量； （2）设向量，其中，若，求的取值范围． 第5课时 向量的平行垂直夹角与长度 一、向量的平行与垂直 透彻理解向量的平行和垂直的概念及其充要条件，才能准确无误的解答相关题目． 设， 则（1） ； （2）若，则⊥ ． 练习9 1．若（ ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 2．三点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)共线的充要条件是