8-3格林公式及其应用.pptVIP

2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 上页 下页 铃 结束 返回 首页 单连通与多连通区域 区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域D的边界曲线L行走时? 如果左手在区域D内? 则行走方向是L的正向，记作 单连通区域 多连通区域 设D为平面区域? 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D? 则称D为平面单连通区域? 否则称为多连通区域? 8-3 格林公式 . 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 设函数P(x? y)及Q(x? y)在有界闭区域D上具有连续的一阶偏导数? D的边界L是逐段光滑的? 则有: ——格林公式 对复连通区域D? 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分? 且边界的方向对区域D来说都是正向? 定理1 (格林公式) 其中 是D的取正向的边界曲线? 应注意的问题: 提示? 格林公式: 设区域D的边界曲线为L? 则 在格林公式中? 令P??y? Q?x? 则有 用格林公式计算区域的面积 曲线积分与路径的关系 设G是一个开区域? P(x? y)、Q(x? y)在区域G内具有一阶 连续偏导数? 与路径无关? 否则说与路径有关? 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2? 等式 这是因为? 设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线? 则L1?(L2-)是D内一条任意的闭曲线? 而且有 2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径的关系 在 D 意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分 曲线积分 内与路径无关 沿 D 内任 ò + Qdy Pdx =0 曲线积分与路径的关系 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) 2. 平面第二型曲线积分与路径无关的条件 . ) ( 闭曲线的曲线积分为零 则曲线积分 ò + L Qdy Pdx 在 D 内与路径无关 或沿 D 内任意 , ( , ) , 数 设 函数 P x y 及 Q ( x y ) 在 单连通域 D 内具有一阶连续偏导 在 D 内处处成立 在 D 意一条简单逐段光滑闭曲线的曲线积分 曲线积分 内与路径无关 沿 D 内任 ò + Qdy Pdx =0 应用定理2应注意的问题 (1)区域D是单连通区域? (2)函数P(x? y)及Q(x? y)在D内具有一阶连续偏导数? 如果这两个条件之一不能满足? 那么定理的结论不能保证成立? 讨论? 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲 线? L的方向为逆时针方向? 问 是否一定成立？ 提示? 在例4中已看到,当L所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及 连续性条件的点O. 表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy与函数的全微分有相同的结构?但它未必就是某个函数的全微分? 那么在什么条件下表达式P(x? y)dx?Q(x? y)dy是某个二元函数u(x? y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时? 怎样求出这个二元函数呢？ 二元函数u(x? y)的全微分为 du(x? y)=ux(x? y)dx?uy(x? y)dy? 二元函数的全微分求积