20101207数列前n项和求法.docVIP

2010/12/07数列的求法 一、 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例1． 解：由题，{}的通项是等差数列{2n－1}{}的通项之积 设………………………. ② （设制错位） ②得 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得时： ∴ 例2．前n项的和. 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………① ………………………………② （设制错位） ①－②得 （错位相减） ∴ 练习：求：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 解：Sn=1+5x+9x2+······+(4n-3)xn-1 ① ①两边同乘以x，得 x Sn=x+5 x2+9x3+······+(4n-3)xn ② ①-②得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+······+ ）-（4n-3）xn 当x=1时，Sn=1+5+9+······+（4n-3）=2n2-n 当x≠1时，Sn= 1 1-x [ 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）xn ] 二、法 （2） （3） *（4） *（5） 例3、求数列的前n项和. 解：设 （裂项） 则 （裂项求和） ＝＝ 例4、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和. 解：∵ ∴ （裂项） ∴ 数列{bn}的前n项和 （裂项求和） ＝ ＝ 练习：求之和。 解： 练习：求之和 三、倒序相加法 如果一个数列{an}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法. 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例5、 求数列的前n项和：，… 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 （分组） 当a＝1＝ （分组求和） 当时，＝ 例6、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 解：设 ∴ ＝ 将其每一项拆开再重新组合得 Sn＝ （分组） ＝ ＝ （分组求和） ＝ 练习：求数列的前n项和。 解： 练习：已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，nN且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和解：　由 210＝1024，211＝2048　　　知 210＋9×10－4＜2000　　　 　211＋9×10－4＞2000　　　 A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则　　　　　　　　　　　　　(首项为9，公差为9的等差数列)　　　S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10　　　　　(首项为2，公比为2的等比数列)　　　　 　＝2(210－1)＋99×5－40＝2501 定义，通项公式，通项公式性质 前n项和，前n项和性质 二、等比数列 定义，通项公式，通项公式性质 前n项和，前n项和性质 三、一般数列通项公式的求法 四、一般数列前n项和的求法