控制工程的计算机仿真4.pptVIP

作业 1、用欧拉法求系统的响应x(t)在t∈[0，1]且h=0.1时的数值解。 * 4.1 常微分方程的数值解法 4.1.1 数值求解的基本概念 第四章 连续系统的离散化方法 4.1.2 欧拉法 4.1.3 龙格-库塔法 4.2 微分方程数值解的MATLAB实现 4.3 数值算法的稳定性及选择原则 4.1 常微分方程的数值解法 4.1.1 数值求解的基本概念 已知一阶微分方程 应有数值求解的思路：从初值x0开始，在一系列时刻t1=t0+h, t2=t1+h,……,tn=tn-1+h，求未知解x1,x2,…..xn的近似解，h是计算步长。 将x(t)在t1=t0+h的解x(t0+h)用泰勒级数展开如下： 4.1 常微分方程的数值解法------ 欧拉法 已知一阶微分方程 取泰勒级数前两项，得： 写成一般形式： 欧拉公式 例1：用欧拉法求下述微分方程的精确解。 解：取h=0.1，由t=0开始计算，递推公式为： 计算如下： 此题精确解为： 例2：用欧拉法求下述微分方程的精确解。 解：取h=0.1，由x=0开始计算，递推公式为： 此题精确解为： 计算结果如下表示。 4.1 常微分方程的数值解法------ 龙格-库塔法（Runge-Kutta法） 已知一阶微分方程 取泰勒级数前三项，得： 为了避免求偏导数，采用某些点的线性组合来代替上式中的后两项： 问题关键是求a1,a2,b1,b2。 4.1 常微分方程的数值解法------ 龙格-库塔法（Runge-Kutta法） 常用的四阶龙格-库塔法计算公式如下： 4.2 微分方程数值解的MATLAB实现 Ode23和ode45是求解常微分方程数值解最常用的命令。 格式如下: [t,x]=ode23(@fun,Tspan,x0,option) [t,x]=ode45(@fun,Tspan,x0,option) 注意：保存的文件名必须和函数名一致。 例1：用matlab求下述微分方程的数值解。（见l1.m） 解：1、编制M文件，使函数名和M文件名相同。 function xdot=l1(t,x) xdot=-x*x 保存的文件名为l1.m，必须与函数名相同。 2、在matlab命令窗口，输入以下命令： ode23(@l1,[0,20],[1]) 或 [t,x]=ode23(@l1,[0,20],[1]) 例2：求解常微分方程 初始条件： 解：引入状态变量。将N阶微分方程转化为N个一阶微分方程组。 令： x1=x, x2=dx/dt, 则： 写成状态方程形式为： 见wf.m。 function xdot=wf(t,x) xdot=[0 1;-1 0]*x+[0;1]*(2+t^2/pi) 在matlab命令窗口，输入以下命令： ode45(@wf,[0,10],[-1;1]) function xdot=wf (t,x) xdot=zeros(2,1) xdot(1)=x(2) xdot(2)=-x(1)+2+t^2/pi 或 例3：求解常微分方程 初始条件： 见dydt.m。仿真模型见n1.mdl。 解： function ydot=dydt(t,y) ydot=[y(2);2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)] 例4：已知某系统运动方程及初始条件为： 求时间区间t=[0,20]微分方程的解。 解：见right.m 和callright.m。 例5：一阀控缸电液位置伺服系统的动力学方程为： 伺服阀流量方程： 液压缸流量连续方程： 负载力平衡方程： 控制信号： 其中，xp为负载位移输出，up为伺服阀输入控制电压，ps和pl分别为系统供油压力和负载压力，r为指令信号，kf为位移传感器增益，sgn为符号函数。求当ps变化时，系统对正弦信号r(t)=2sin(6*pi*t)的响应。 解：设：x1=xp,x2=dxp/dt,x3=pl，将上述方程组改写为含有x1,x2,x3的方程组。 见ee.m 和callee.m。 例6：已知系统状态方程 其中： 试用MATLAB仿真（步长h=0.01,0.04,0.05）。 仿真模型见n2.mdl。 了解步长对系统数值解的影响。 例：解微分方程： 解：建立M文件。 function dy=myfun6(x,y) dy=zeros(3,1) dy(1)=y(2) dy(2)=y(3) dy(3)=(y(3)-1)^2-y(2)-y(1)^2 在MATLAB命令窗口下输入： ode23(myfun6,[0,20],[0;1;-1]) 得到数值计算图形结果。 2、已知系统的状态方程为： 用MATLAB求其数值解。 * * *