计算方法电子教案(第一,二章).pptVIP

§1.1计算方法的内容和任务 计算方法的内容和任务: 1.给出各类典型数学问题的数值提法（包括其应用背景和理论背景）; 2.构造求解该类问题的数值解的各种数值计算方法，并对其进行理论分析; 3.把数值计算方法设计成计算机程序及上机运行。 §1.2 数值计算的误差 4. 舍入误差。计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。例如：在10位十进制数限制下： 在计算方法课程中主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响及如何有效控制。 二．误差基本概念 例1.3：测得某桌面的长a的近似值a*=120cm,宽b的 近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm, |e(b*)|≤0.1cm。 试求近似面积s*=a*×b* 的绝对误差限与相对误差限。 §1.3 选用算法应遵循的原则 1.尽量简化计算步骤，减少乘除运算的次数. 例如，计算多项式 通常运算的乘法次数为 若采用递推(秦九韶)算法, 则乘法次数仅为n. 又如 2.防止大数“吃掉”小数 当|a||b|时，尽量避免a+b 。例如，假设计算机 只能存放10位尾数的十进制数，则 3.尽量避免相近数相减 例如，当x很大时，应 4.避免绝对值很小的数做分母 当|b||a|时，应尽量避免 。 5. 选用数值稳定性好的算法，以控制舍入误差高速 增长 可建立下列的递推关系： 将 代入插值多项式得： 令： 即有： 则： 是 和 的线性组合。 显然， 满足： 1 i = j 0 i ≠j (i=0,1 j=0,1) 是过两点 的直线，从几何上看就是过 两点的直线 来近似代替 这种插值称为线性插值。 称为线性插值基函数。 二、抛物线插值（二次插值） 已知函数的三个点 设插值多项式为 且满足插值条件 解上述方程组,求出 , , ,并代入 整理后可得 令 显然，二次插值多项式可以写成 ， ， 的线性组合。即 并且: 满足条件: 1 i=j 0 i≠j (i=0,1,2,j=0,1,2) 则称之为二次插值的基函数。 从几何上看，二次插值就是用过三点 ， 的抛物线来近似代替曲线 。因此三点二次插值又称为抛物线插值。 当n=1时，线性插值的余项为 2.2 Newton插值公式 有了差商的概念，前面介绍的线性插值公式可表示为： (2.2.1) (2.2.1) 称为一次Newton插值多项式,记为N1(x),即 一. 差分 1.定义 设 叫步长. .称 为函数 在点 处以h为步长的一级前向差分,记为 称 即: 一般地,m级差分可以定义为: (2.3.1) (2.3.2) 二、差分表 1. 前向差分 △4f0 △3f1 △2f2 △f3 f4 x4 △3f0 △2f1 △f2 f3 x3 △2f0 △f1 f2 x2 △f0 f1 x1 f0 x0 △4fk △3fk △2fk △fk fk=f(xk) xk 由式(2.3.1)和式(2.3.2)定义的差分,通常称为向前差分.而称： (2.3.3) (2