第一章行列式(定稿).pptVIP

主要参考书 1《经济应用数学》(线性代数) 陈建华 主编 高等教育出版社 2《经济数学基础 线性代数习题解答》 胡显佑 四川人民出版社 3 经济数学(线性代数) 解题方法技巧归纳 毛刚源 华中科技大学出版社 4 线性代数复习指导—思路、方法与技巧 陈文灯 黄先开等 清华大学出版社 §1.4 克莱姆法则 克莱姆法则 小结 第一章复习 一、主要内容 （一）行列式的定义。（用于计算特殊行列式，对角线法只用于二、三阶行列式） （二）行列式的性质。 （三）行列式按行（列）展开。 （四）克莱姆法则。 二、本章的重点和难点：n阶行列式的计算。 三、行列式的主要计算方法： 1、某行（列）乘以数k加到其它各行（列）。 2、其它各行（列）乘以数k加到某一行（列）。（特别是行和或列和相同的情况） 3、选定零元素较多的行（列），然后按此行（列）展开，同时得到的余子式也要易算。 4、从倒数第二行（列）开始，将第i-1行（列）的k倍加到第i行（列）（i= n ，n-1，…，2）。 5、从第二行（列）开始，将第i行（列）的k倍加到第i-1行（列）（i=2，3，…，n）。 6、拆项法。 7、递推法。 四、典型例题： 返回 根据行列式按一列展开公式,得 因此 这就是说,如果 为(1)的一个解,那么一定有 即方程组的解是唯一的. 例１ 解线性方程组 解 方程组的系数行列式 所以方程组有唯一解,而 所以方程组的解为 注 当线性方程组的系数行列式等于零时,不能应用克莱姆法则求解. 定理１.6 如果非齐次线性方程组(1)无解或有两个不同的解,那么它的系数行列式 考虑齐次线性方程组 定理１.7 如果齐次线性方程组(3)的系数行列式D≠0那么齐次线性方程组(3)只有零解.即, 如果齐次线性方程组(3)有非零解, 那么齐次线性方程组(3)的系数行列式D=0. 例2 齐次方程组 有非零解,问 取何值? 解 齐次方程组有非零解, 则 所以 或 . 1. 用克莱姆法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. 课堂练习 练习答案或提示 返回 例8 计算行列式 解:从行列式的第一行开始,每行乘x后逐次下加到下一行,有 由(ii) 推论 n阶行列式 的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和为零，即 返回 证 考虑辅助行列式 0= t列 j列 该行列式中有两列对应元素相等. = 0 定理1.3及其推论归纳起来就是： （代数余子式的性质） 注意：利用定理1.3计算较高级的行列式时，可以按行或列展开，就化为计算若干个较低阶的行列式的问题。特别是，利用上节行列式的性质，可以先把行列式的某行（列）化为仅含一个非零元素，再按此行（列）展开，以简化计算。 例2 计算行列式 例3 计算n阶行列式 解 解 例4 证明范得蒙行列式（Vandermonde) 证 用数学归纳法 返回 假设对n-1阶范得蒙行列式结论成立，以下考虑n阶情形. 下一行减去上一行的x1倍，得 返回 例如： ？ 例5 已知4阶行列式 解 说明：如果直接Ai4(i=1,2,3,4)计算，然后相加，繁. 利用行列式的按列展开定理， 它是D中第2列元素与第4列元素的代数余子式的乘积之和，故有 例6 求第一行各元素的代数余子式之和 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 1.计算行列式 思考练习 返回 求第一行各元素的代数余子式之和： 思考练习 思考练习 答案 思考练习 答案 返回 2.解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成 思考练习 答案 *二、拉普拉斯（Laplace）定理 在n阶行列式 定理1.4 任意取定k行(1? k?n),由这k行元素组成的k阶子式M 1, M 2 ,…,M t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即 返回 例6 计算行列式 解 一般地，有： (1) (2) 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念： 定理1.5 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶