弹性力学-03直角坐标求解-贾.pptVIP

例题2：图示矩形截面梁，高为H，长为L，求解应力分量。 分析：梁受到了沿X方向成线性分布的均布力作用，可以设 根据应力函数与应力分量之间的关系有： 积分得： ⑴ ⑴式必须要满足相容条件，代入相容方程中得到： 得到： ⑵ ⑶ ⑷ ⑵式积分，得： ⑶式积分，得： ⑷式积分，得： 代入应力函数方程： 略去一次项： 利用边界条件求解积分常数： 得到：I=J=A=B=E=F=G=0,解没有意义，应考虑近似满足。 利用上述方程可以解出： 1.本题中能否设 讨论： 为什么？ 2.下图中能否设 为什么？ §3-4 楔形体受重力和液体压力 要点 ——半逆解法（因次或量纲分析法） x y O 问题的提法： 楔形体，下部可无限延伸。 侧面受水压作用： （水的容重）； 自重作用： （楔形体的容重）； 求：楔形体应力分布规律 。 1. 应力函数及应力分量 (1) 分析： (a) ∵ 的量纲为： ∴ 的形式应为： 的线性组合。 的量纲为： (b) 由 推理得： 应为 x、y 的三次函数。 应力函数比应力高两阶 [力][长度]-2 [力][长度]-3 x y O N (b) (2) （应力边界）： 其中： 将(b)代入，有 代入，可求得： x y O (b) 代入式（b），有： (3-7) —— 李维（Levy）解答 沿水平方向的应力分布 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 （1）对称条件的应用(减少运算) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 由 q 对称、几何对称： —— x 的偶函数 —— x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （2）边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得： 代入应力公式 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q ( i ) ( j ) ( k ) (b) 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。） —— 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = －ql； ( i ) ( j ) ( k ) 可见，这一条件自动满足。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 截面上的应力分布： 三次抛物线 4. 与材料力学结果比较 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 4. 与材料力学结果比较 材力中几个参数： 截面宽：b=1 , 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 ( p ) ，有 （3-6） x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （3-6） 比较，得： （1） 第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。 （2） 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。 （3） 与材力中相同。 解题步骤小结： （1） （2） （3） 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。 （4） （5） 将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。 由边界条件确定 中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： 附： 应力函数确定的“材料力学方法” 要点： 利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。 适用性： 直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。 材力中，应力分量与梁内力的关系为： 式中： M(x) —— 弯矩方程； Q(x) —— 剪力方程。 当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力 ， 同时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力