Microsoft PowerPoint 二章 (2).pptVIP

第二章 矩阵 【学习要求及目标】通过本章的学习使学生： （1）理解矩阵的概念及某些特殊矩阵--单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵及反对称矩阵，了解这些矩阵的性质. （2）熟练掌握矩阵的线性运算（即矩阵的加法及矩阵的数乘）、矩阵的乘法、转置、方阵的行列式、分块矩阵的运算，以及它们的运算规律. （3）理解逆矩阵的概念，了解逆矩阵的性质及其存在的充分必要条件，掌握求逆矩阵 的各种方法. （4）掌握矩阵的初等变换，理解初等矩阵及矩阵等价的概念. （5）理解矩阵的秩，会用初等变换法求矩阵的秩. 矩阵是代数研究的主要对象和工具它在数学以及自然科学、工程技术、经济学、管理学及社会科学中有着广泛的应用.著名的列昂节夫就是利用矩阵这一数学工具建立起投入——产出模型，并在实践中取得了极大成功的.在本课程中，矩阵是研究线性变换、向量的线性相关性、线性方程组求解等有力且不可替代的工具，在线性代数中具有重要的地位. §2.1矩阵的概念 内容要点： ● 矩阵的定义及相关概念 ● 两矩阵相等的概念 矩阵的定义 某市储蓄所开办了一年期、三年期、五年期、八年期四种档次的储蓄业务，1999年第一季度各月吸收各类储蓄存款的情况如表2.1.1所示： 表 2.1.1  在生产实践和经济活动中经常使用上述这种表的方法解决一些实际问题.所以产生了矩阵的概念. 定义2.1.1 由 个数 排成的一个m行、n列的矩形表， 称为矩阵. 记为  其中每一横排和竖排分别称为矩阵的行和列， 称为矩阵的第 行第 列的元素.通常用大写字母A,B,C 表示矩阵.例如：  元素是实数的矩阵称为实矩阵.例如： 元素是复数的矩阵为复矩阵，本书中如不特别说明都是指实矩阵. 例如： 所有元素均为零的矩阵成为零矩阵，记为O； 例如： 所有元素均为非负数的矩阵称为非负矩阵； 例如：  若矩阵 A＝ 的行数与列数都等于n，则称 A为n阶方阵，记为 就是三阶方阵 在n阶方阵A＝ 中， 称为主对角线上的元素. 注意：矩阵与行列式是完全不同的两个概念.n阶方阵是由 个数排成的n行n 列的表，而n阶行列式是由 个数按一定运算规律所确定的数值.  把方阵A＝ 中各元素变为相反数得到的矩阵，称为的A负矩阵，记为 –A，那么 -A＝ .例如： A ＝ 则-A＝ 称为A的负矩阵. 如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数，则称这两个矩阵为同型矩阵  2.1.2矩阵的相等 定义2.1.2 如果矩阵A,B为同型矩阵，且对应元素相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B . 即 若 则A=B. 例2.1.2 设 已知 A=B, 求: X，Y，Z. 解 由于 　　　所以  §2.2矩阵的运算 内容要点： ● 矩阵的加法 ●矩阵的数乘 ● 矩阵的乘法 ● 线性方程组的矩阵表示 ● 几种特殊矩阵 ● 转置矩阵及其性质 ● 方阵的行列式 ● 方阵的幂  2.2.1矩阵的加法 定义2.2.1 设有两个 矩阵 A与B之和记作A+B规定为  只有两个同性矩阵才能进行加法运算.两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 由此规定矩阵的减法为：  矩阵的加法满足下列运算规律： 设 都是 矩阵 ⑴ 交换律 ⑵ 结合律 ⑶ ⑷若 则有 ⑸ 若 ，则有： ⑹ 若 则有 . .  2.2.2.矩阵的数乘 定义2.2.2 设A是一个 矩阵， k是一个数，数kl与矩阵A的乘积记作 规定为  矩阵的数乘满足下列运算规律： 设 都是 矩阵，k,l是数，则 (1) (2) (3)