chapter3_1 离散傅里叶变换.ppt

第三章 离散傅里叶变换及其快速算法 主要内容： 离散傅里叶变换(DFT) 快速傅里叶变换(FFT) FFT应用中的几个问题 频域上的主值区间与主值序列： DFT的矩阵方程表示 循环卷积过程： (4)有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x(n)通过系统h(n),其输出就是线性卷积y(n)=x(n)*h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术(后续讨论)，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 问题：现在我们来讨论上述 x(n)与h(n)的线性卷积，如果 x(n)、h(n) 为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真? 循环卷积： 例: 设有两个序列，x(n)为N=4矩形序列，y(n)为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积 由线性卷积定义可直接验证，两者的线性卷积 f(n)=x(n)*y(n)具有N+M-1=9个非零值 观察卷积的周期L取不同值时的情况 (4)DFT的分辨率 填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。事实上我们通常规定DFT的频率分辨率为 ，这里的N是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的长度。不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的；而相同长度的x(n)尽管补零的长度不同其DTFT的结果应是相同的，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用了不同的采样密度 参数选择的一般原则： 若已知信号的最高频率 ，为防止混叠，选定采样频率 ； 根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度 和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度 这里T是采样周期 (5)周期信号的谱分析 对于连续的单一频率周期信号 ， 为信号的频率。 习题 2.3 (3.3) 2.4 (3.4) 2.6 (3.6) (2) (3) 2.15 (3.15) (1) 2.19 (3.19) 其中f(n)就是线性卷积，也就是说，x(n)、y(n)周期延拓后的周期卷积是x(n)、y(n) 线性卷积的周期延拓，周期为L 它们的周期卷积序列为： 根据前面的分析， f(n)具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期 LN+M-1，那么 f(n)周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有 L≥N+M-1 时，才不会产生交叠，这时 f(n)的周期延拓 中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f(n)的全部非零序列值，而剩下的 L –(N+M-1)点的序列则是补充的零值。 循环卷积正是周期卷积取主值序列： 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： L≥N+M-1? 验证线性卷积与循环卷积 注意:上式为习惯写法,原式为: 共轭偶对称分量 共轭奇对称分量 共轭对称性质的推论(一) (5)共轭对称特性 说明： 当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0≤k≤N-1，而X[N]已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即X[N]= X[0]，因此仍采用习惯表示式 DFT[x*(n)]=X*(N-k) 以下在所有对称特性讨论中，X[N]均应理解为X[N]=X[0]，同样， 共轭偶对称分量与共轭奇对称分量的对称性质 以 xr（n）和 xi（n）表示序列x（n）的实部与虚部 即 x（n）=xr（n）+jxi（n） 以 Xe（k）和Xo（k）表示x(n)的实部与虚部序列的DFT 显然， Xe(k)与Xo(k)对称性： 故 因此,Xe(k)具有共轭偶对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量 用同样的方法可得到 即Xo(k)具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量 根据x（n）与X（k）的对称性，同样可找到X（k）的实部、虚部与x（n）的共轭偶部与共轭奇部的关系。 分别以xe（n）及x0（n）