第四章 多项式插值与函数逼近3.pptVIP

* §5 三次样条插值/* Cubic Spline Interpolation */ 许多实际工程技术中一般对精度要求非常高， （1）要求近似曲线在节点连续； （2）要求近似曲线在节点处导数连续，即充分光滑。 分段插值不能保证节点的光滑性，而Hermite 插值需要知道节点处的导数值，实际中无法确定。 问题背景 一、三次样条函数的力学背景 在工程技术和数学应用中经常遇到这样一类数据处理问题：在平面上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。 . . . . . . . . 压铁 弹性木条 . 数据点 形象地称之为样条曲线 在力学上，通常均匀细木条可以看作弹性细梁，压铁看作是作用在梁上的集中载荷，“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下的弯曲变形曲线。 设细梁刚度系数为 ，弯矩为 ，样条曲线的曲率为 由力学知识： 当 时（即“小挠度”的情况） 上述微分方程简化为： 是线性函数 因此，“样条曲线”可近似认为是三次多项式 二、三次样条函数定义及求法 设在区间 上给定一个分割， 定义在 上的函数 如果满足下列条件： (1)在每个小区间 内是三次多项式 (2)在整个 区间上， 为二阶连续可导函数，即在 每个节点 处 则称 为三次样条函数 假设现在已知函数 在节点处的函数值： 如果三次样条函数 满足 则称 为插值于 的三次样条函数，简称三次样条 插值函数。 如何求 的三次样条插值函数: 4n个未知数 3n-1个条件 线性插值函数 1、M连续方程与 的表达式 记 因为 在每一个子区间 上都是线性函数 两边积分 两边再积分一次 ？ 代入插值条件： 在整个区间 上， 的表达式为： 未知数n+1个 的计算方法： 由 由 由 其中 写成方程组的形式： 上述方程组称为 的M连续方程 n-1个方程 n+1个未知数 三弯矩方程 2、m连续方程与 的表达式 记 在区间 上采用Hermite插值 的计算方法： 对 两边求导（微分2次） 两者相等得到方程组： 其中 同前 写成方程组的形式： n-1个方程 n+1个未知数 三转角方程 上述方程组称为 的m连续方程 M、m连续方程的求解：需要补充附加条件 3、边界条件/*boundary conditions */ ?已知端点的斜率： ?已知端点的二阶导数： ?设 是以 为周期的周期函数，对 附加周期性条件： 即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。 M连续方程在各类边界条件下的求解方法 ?对于第一类边界条件 由 得 从而得到方程组（三对角）： 可用追赶法求解 ?对于第二类边界条件 类似地可以得到方程组（三对角）： 上述两种情况得到的方程组，可以写成统一形式： 其中 时为第二类边界条件 时为第一类边界条件