计算机图形学之Bezier 曲线与曲面.pptVIP

第七章 Bezier 曲线与曲面 7.1 基础知识介绍 7.2 Bezier曲线的定义 7.3 Bezier曲线的性质 7.4 Bezier曲面 7.1 基础知识介绍 1 插值、逼近、拟合 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（Interpolatory），所构造的曲线称为插值曲线。 逼近(Approximation)： 提供的是存在误差的实验数据 最小二乘法、回归分析 提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点 Bezier曲线、B样条曲线等 拟合(fitting)：指的是曲线、曲面的设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线、曲面达到某些设计要求。 2 参数曲线的代数形式和几何形式 我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。 1）代数形式 一条三次参数曲线的代数形式是 方程组中12个系数唯一地确定了一条3次参数曲线的位置与形状。上述代数式写成矢量式是： 其中a0,a1,a2,a3是代数系数矢量，P(t)是三次参数曲线上任一点的位置矢量。 2）几何形式 描述参数曲线的条件一般有端点位矢、端点切矢等。对三次参数曲线，我们应用两个端点以及对应的切矢量 可得到下述四个方程： 求解上述四个方程得到： 把a0,a1,a2和a3代入代数矢量表达式，并令 则有 其中 我们选择曲线的二个端点及其切矢量构造参数曲线的几何形式，也可根据已知条件选择四个不同的点，或者四个点的切矢等。 7.1 Bezier曲线的定义 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统。1972年，该系统被投入应用。 Bezier曲线的形状是通过一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一地定义出来的。在这组顶点中： 　(1) 只有第一个顶点和最后一个顶点在曲线上； 　(2)第一条边和最后一条边则表示了曲线在两端点处的切线方向； 　(3)曲线的形状趋于多边形的形状。 例：1、2和3次Bézier曲线 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形， P0,P1…..Pn称为P(t)的控制顶点。Bi,n(t)是n次Bernstein基函数(basis function) ： 00=1, 0!=1 Bézier曲线示例 Bézier曲线P(t)与其控制多边形的关系可以这样认为：控制多边形P0P1…Pn是P(t)的大致形状的勾画；P(t)是对P0P1…Pn的逼近； Bézier曲线的矩阵表示 一次Bézier曲线 当n=1时： 矩阵表示是： 一次Bezier曲线的两条基函数 二次Bézier曲线 当n=2时，Bézier曲线如下所示： 矩阵形式是： 此式说明二次Bézier曲线对应一条起点在P0，终点在P2处的抛物线，即有： 二次Bézier曲线图示 二次Bezier曲线的三条基函数 三次Bézier曲线 当n=3时，Bézier曲线如下所示： 其中，令： 则三次Bernstein基函数是： 图示1 三次Bézier曲线的矩阵表示如下所示： 三次Bezier曲线的四条基函数 7.2 Bezier曲线的性质 （3）权性 由二项式定理可知： (4)对称性 给定控制多边形P0,p1,…,pn ，我们可以自P0出发构造Bezier曲线，也可以自Pn出发反向构造Bezier曲线，这两条曲线的形状完全相同，但参数化方向相反，亦即Bezier曲线具有对称性。曲线的对称性表明，由同一控制多边形定义的Bezier曲线唯一。 （5）交互能力 改变控制点的位置来改变曲线的形状。 （6）保凸性 平面上的凸控制多边形产生凸曲线。 （7）变差缩减性 Bezier曲线比控制多边形波动得少，更关顺。 光顺(Fairing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是： a. 具有二阶几何连续性(G2)； b. 不存在多余拐点和奇异点； c. 曲率变化较小。 双三次Bezier曲面的形成过程为： (1)控制顶点的四个列阵生成四条三次Bezier曲线 表示为 (2)给定任一u,设u=u1,则可在上述四条曲线上分别得到点