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从特殊对象看问题 * 观察、实验、综合、分析 张映姜 广东湛江师院数科院 zhangyingjiang17@126.com 一 观察 1. 观察不只用眼睛，更主要用脑子 2. 观察受语言的影响,但语言不是关键 ３. 观察受理论、观点、方法的影响 4. 观察是数学发现真理的重要方法 5. 观察需要目的性和积极主动性,防止片面性与主观性 观察与实验 6. 观察的例子 观察函数y=ax, y=log ax 等 观察杨辉“三角”， 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 如果“杨辉三角”变为如下形式：则有 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 … … … … 杨辉三角变为: ①-①-①-①-①-①- ①-②-③-④-⑤-⑥- ①-③-⑥-⑩-○-○- ①-④-⑩-○-○-○- ①-⑤-○-○-○-○- 例 对任意的自然数n，连接原点O和点An(n,n+3）.用f(n)表示线段OA上除端点外的整数点的个数。试求f(1)+f(2)+f(3)+┅+f(1997)的值。 例 某信封上的两邮码M，N，均由0，1，2，3，5，6六个不同的数字组成。现有四码如下： A： 3 2 0 6 5 1 B： 1 0 5 2 6 3 C： 6 1 2 3 0 5 D； 3 1 6 2 5 0 现已知A，B，C各恰好有两个数字的位置与M，N相同，D恰好有3个数字的位置与M，N相同。求M，N。 A： 3 2 0 6 5 1 B： 1 0 5 2 6 3 C： 6 1 2 3 0 5 D； 3 1 6 2 5 0 6 0 不可能 3 1 2 5 有一个不正确 正确答案: 610253 310265 二、 实验 １ 实验的目的 ２ 实验的过程 ３ 实验的结果 ４ 实验的特点： 可操作性，可重复性 九点圆实验 这九个点主要是三角形中三边的中点、三边高的垂足，以及垂心与三顶点连线段的中点，共九个点，无独有巧，这九个点恰好在一个圆上，无论三角形是直角三角形或钝角三角形或锐角三角形，这九个点总在一个圆上。如图。 九点圆又叫做欧 拉圆(Euler Circle)、庞斯莱圆 (Poncelet Circvle)、或费尔巴哈圆 (Feuerbach Circle) 河内塔实验 传说在古老的印度，有一座神庙，庵宇中放置三根柱子，其中的一根柱子上，从上到下放置64片直径由小到大的圆环形金属片。古印度教的天神指示他的僧侣們，将64片金属片移到另一根柱子上。规定在每次的移动中，只能搬移一片金属片，並且在過程中，必須保持金属片由上到下是直径由小到大的次序，全部移动到另一根柱子上，那么，世界末日即随之来到，世间的一切终被毁灰，万物都将至极乐世界。现在的问题是，果真要移动这64片金属片，那么，至少要通过多少次搬动才能完成？需要多少时间？ 蒲丰实验是一个非常老而又非常有名的实验。这个实验通过长度为l的细针，抛在一张画有一组间距为 l 的平行线的白纸上画上，接着一次次将小针抛在白纸上。通过细针与平行线相交的频率来计算圆周率 π的近似值。 Buffon 抛针实验 (1) 利用等底等高的圆柱、圆锥求球的体积. (2) 直线分割平面