曲面积分(复习).pptVIP

例3 内容小结 P246 题2. 第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 2. 定义： 三、对坐标的曲面积分的计算法 例1. 计算 例2. 计算曲面积分 . 常用计算公式及方法 当 思考与练习 第六节 一、高斯 ( Gauss ) 公式 例1 例2 内容小结 思考与练习 高斯(1777 – 1855) 设? 为曲面 取上侧, 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 1. 高斯公式及其应用 公式: 应用: (1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: * 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 设曲面形构件具有连续面密度 定义 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 若对? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上 函数, ? 叫做积分曲面. 或 第一类曲面积分. 对面积 ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 若? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 ? 奇偶对称性. 设函数 在区域?上连续, 域?关于xoy面对称, 关于z为奇函数，则 关于z为偶函数，则 定理 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 设有光滑曲面 说明: 可有类似的公式： 如果曲面方程为 例1 其中? 是球面 被平面 截出的顶部. 解 计算曲面积分 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 例2 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 设 计算 对面积的曲面积分的物理意义 可表示空间很薄的壳状物质的质量和转动惯量及 重心等. 求此曲面壳在平面 z =1以上部分? 的 的面密度 质量 M . 解 故 已知曲面壳 ? 在 xOy 面上的投影为 1. 定义: 2. 计算: 设 则 (曲面的其他两种情况类似) P220 题7. 如图所示, 有 练习题 限中的部分, 则有( ). ( 2000 考研 ) 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 ? 设 ? 为有向曲面, 侧的规定 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面? 的流量? . 分析: 若? 是面积为S 的平面, 则流量 单位法向量: 流速为常向量: 对一般的有向曲面? , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析 , 则 设? 为光滑的有向曲面, 在? 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 分, 记作 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 若对? 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 称为Q 在有向曲面? 上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面? 上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面? 上对 y, z 的曲面积分; 3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用? ˉ 表示 ? 的反向曲面, 则 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 ? 上的连续函数, 则 ? 若 则有 (前正后负) 说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则 ? 若 则有 (右正左负) 其中? 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解: 利