随机过程(7)--§4马尔科夫链.pptVIP

§2 Poisson过程 计数过程 Poisson过程 Poisson过程的转移概率函数 §3 有关Poisson过程的几个问题 第 四 章 连续时间的马尔可夫链 */37 例如:用 N(t) 表示时间[0, t]内到达某商店的顾客数,则 就是一计数过程 设A是一随机事件,记 N(t) 为事件A在[0, t]时间内出现的次数, 称 为计数过程. 用 N(t) 表示某交通路口在[0, t]时间内发生交通事故的次数,则 就是一计数过程 (2) N(t)是非负整数值随机变量; 计数过程的性质: (1) (3) N(t) 关于t单调上升,即若 ,则有 (4)若 , 则增量 表示在时间(s, t]内事件A发生的次数. (1) (2) 是独立增量过程 即对任意的 ，增量 的分布只与时间差 有关，而与起始时间s 和终止时间 t 无关 设 是计数过程，若满足下列条件： 即对任意的 ， 与 相互独立 (3) 是平稳增量过程 即 则称该计数过程 为Poisson过程 (泊松过程) . (4)在时间 内，事件A发生一次的概率为 ，在时间 内，事件发生两次或两次以上的概率为 . t T1 T2 T3 N(t) 0 1 2 3 4 Poisson过程的一条样本轨道 事件A发生的时间T1, T2, T3,…是随机的，时间间隔T2－T3也是随机的 设 是Poisson过程，则对任意的s, t有 记 则有 令 ， 由此得到： 即 得到微分方程组 当 时 即 令 得到微分方程 由 得 由初值条件 ，得 即 解微分方程 得到： 当 时 当 时 Poisson过程的密度矩阵 当 时， 所以Poisson过程的Q矩阵是 则 是事件第一次发生的事件，下求其分布事件 表示在 内事件没有发生即 (一)各次事件间的时间间隔的分布 记 所以 的分布函数为 即 服从参数为 的指数分布 的概率密度是 的数学期望为 随机变量 是相互独立同分布的，且服从参数 为的指数分布： 递归定义 如下 则 是事件A第n 次发生和第(n-1)次发生的时间间隔,即为相邻两次发生的时间间隔. 则 是事件A第n次发生的时间，称之为等待时间, 也可定义如下 (二)等待时间的分布 的定义如下，记 定义 分布 若随机变量 的概率密度为： 其中 ,则称随机变量 服从参数为 的 分布，记为 (1) 分布和指数分布的关系 (2) 分布的可加刑 若随机变量 与 相互独立，且分布服从参数为 和 的 分布，则 服从参数为 的 分布 分布的性质 若随机变量 ，则当 时 就是服从参数为 的指数分布，即其概率密度为 (1) 概率密度为 即 服从参数为 的指数分布 所以指数分布是 分布的特殊情形 当 时， 的概率密度为 当 时， ； 当 时，由卷积公式有 的概率密度为