概率论与数理统计(13).pptVIP

* * 存在,则称此极限为在条件Y=y下X的条件分布函数.记作 可证对于二维连续型随机变量,若联合密度函数f (x, y)和边缘 密度函数fY( y)都连续,且fY( y)0时,有 四、条件分布 定义9 设 (X, Y)为二维连续型随机变量,给定y,设对任意给定的正数? 0,若极限 从而二维连续型随机变量(X, Y)在条件Y=y下仍是连续型随机变量.若记 为在Y=y条件下X的条件概率密度函数,则由上知,当fY( y) 0 时 类似地可定义在X=x条件下Y的条件概率密度函数 当 fX( x)0 时, 例1 已知(X, Y)的概率密度为 (1) 求条件概率密度 (2) 求条件概率 解 故当–1x1时,有 例2 设二维随机变量(X,Y)在单位圆 内服从 均匀分布,求 解 因为 所以 于是,当 -1x1时 同理可得,当 -1 y 1时 例3 设随机变量X密度函数为 而随机变量Y在( 0,X)上具有均匀分布，求Y的密度 解 由题设,显然，X只在( 0,+∞)内取值，且Y 在条件 “X=x”下的条件分布为（0, x）区间上的均匀分布. 于是当 x 0 时 从而当 0 y x 时,（X,Y）的联合密度为 在其它( x , y ) 点处,有p (x, y)=0. 故 故可得 由定义知:随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) P{X?x, Y?y} = P{X?x} ? P{Y?y} 即 F(x,y)=FX(x) ? FY(y) 则称随机变量X和Y是相互独立的. 定义10 设F(x,y)及FX(x)，FY(y)分别是二维随机变量(X，Y) 的联合分布函数及边缘分布函数.若对任意的x,y有 §3.4 随机变量的独立性 定理3.1 设(X, Y)是二维离散型随机变量,其分布律为 Pi,j=P{X=xi ,Y=yj} (i,j=1,2,...) Pi,j =Pi? ? P?j 则X与Y独立的充分必要条件是对任意 i, j 有 第二节例2中的无放回摸球,二维随机变量(X, Y)及关于X和 Y的分布律为 所以随机变量X和 Y不相互独立. 0 1 X Y 0 1 因为 第二节例1中的有放回摸球,二维随机变量(X, Y)及关于X和Y的分布律为 因 Pi,j=Pi?. P?j (i,j=0,1) 所以随机变量X和 Y相互独立. X Y 0 1 0 1 定理3.2 设(X, Y)是二维连续型随机变量,则X与Y独立的充分 必要条件是 f(x,y)=fX(x) ? fY(y) 注1 一般地,边缘分布律不能确定二维随机变量的联合分布 律,但X与Y相互独立时, (X, Y)的联合分布律被它的两个边缘 分布律所唯一确定. 例 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 判断 X与Y是否独立? 解 显然,当 时,有 所以,X与Y不相互独立.