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第7章 非正弦周期电流电路 * * 1. 学习指导 7.1 教学目的与要求 一、教学目的 学习谐波分析法，运用谐波分析、直流电路分析和正弦稳态电路分析等方法，对在非正弦周期信号作用下的线性电路进行分析求解。 二、教学要求 1．掌握非正弦周期信号的傅立叶级数分解，注意具有对称性时信号分解的简化方法。 2．熟练掌握周期信号作用下有效值、平均值和平均功率的计算。 3．深刻理解谐波分析方法，熟练地运用此方法对线性电路进行分析。 4．理解周期信号频谱的含义，熟练地画出信号的频谱图。 5．了解低通、高通滤波器的作用。 8.2 学习要点 1、非正弦周期信号的傅里叶级数展开 满足“狄利克雷”条件，周期为T的任意一个的周期信号f(t)，可以展开成一个收敛的傅里叶级数： 式中： 2、信号的对称性与傅立叶级数 3、非正弦周期信号傅立叶级数的性质 非正弦周期信号的傅里叶级数具有离散性、谐波性和收敛性（衰减性）。 由于具有衰减性，工程上可以只取级数的少数几项近似地表示原信号。同时，也可以只用少数几项正弦或余弦分量，合成得到希望的非正弦周期信号。 4、非正弦周期信号傅立叶级数的性质 （1）有效值 周期电流有效值的定义为 用谐波系数计算为 （2）平均值 周期电流的平均值定义为 （3）平均功率 周期电流信号的平均功率定义为该电流加在1 Ω电阻上所 消耗功率的平均值： 用谐波系数计算为： 一个端口的平均功率，定义为在一个周期内它的瞬时功 率p的（直接）平均值： 用谐波系数计算为： 5．非正弦周期电流电路的计算 非正弦周期电流电路中电压、电流及功率的计算，可以应 用叠加定理来进行。具体步骤： （1）将非正弦周期形式的电压或电流展开为傅里叶级数。 （2）直流分量，对电路进行直流分析。电路中的电容开 路，电感短路。 （3）谐波分量，分别对电路进行不同频率下的正弦稳态分 析。 （4）将（2）和（3）步骤计算结果相加，电压、电流的叠 加是瞬时值表达式的叠加。 6．周期性信号的频谱 将傅立叶级数各系数的幅度Ak对 的关系绘制成图形，称 为周期信号的幅度频谱。将各系数初相位 对 的关系绘制 成图形，称为周期信号的相位频谱。 周期信号的傅立叶级数也可以表示为指数形式，由指数形 式的复系数对 的关系绘制的图形，称为周期信号的复数频谱。 频谱图更清楚、更直观地描述了周期信号的频域特征。 7．低通、高通滤波器 滤波器由电容、电感与电阻组成。滤波器对某一部分的谐波 分量有阻碍作用。 低通滤波器允许频率低于截止频率的谐波分量通过；高通滤 波器允许频率高于截止频率的谐波分量通过。 2. 精选例题解析 例7-1 求例7-1图所示周期信号的傅立叶级数。 例7-1 解析： 求周期信号的傅立叶级数，主要是求出级数的傅立叶系数。 手工计算系数是比较繁杂的，如果周期信号是偶函数、或是 奇函数，部分系数则为0，可以减少计算量。 f1(t)是偶函数，它的傅立叶级数中正弦分量为0，即 。因此， 只需计算余弦分量的系数。f1(t)在正半周期内的表达式为： 先计算直流分量系数 ： 是周期信号在一个周期内的平均值，计算时可以通过求出 一个周期内的面积，再做平均： 计算各谐波分量余弦系数 ： 上式中， 是基波频率。仔细计算积分，得： 傅里叶级数为： 例7-2 利用上题的结果求例7-2图所示周期信号的傅立叶级数。 例7-2 解析： 仔细观察f2(t)与f1(t)，不难发现：f2(t)是将f1(t)向下平移了 ， 同时f2(t)是f1(t)右移 ，即： 上题中已经求出了f1(t)的傅立叶级数，于是在f1(t)的傅立 叶级数中以 代替t、再减去 ，便可得到f2(t)的傅立叶级数。 当周期信号波形向右移动 时，将傅立叶级数中的 改 为 。 例7-3 已知周期信号f(t)的四分之一周期的波形如例7-3图（a）所 示，如果f(t)是偶函数，除了直流成分外，又只含有偶次谐 波，试画出f(t)一个周期的完整波形。 解析： 此类分析注意奇偶函数的运算规律，如：两个偶函数的乘积 仍是偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；一个奇函数与一个 偶函数的乘积是奇函数。 以纵轴对称，一个完整周期的余弦函数是偶函数，如图（c）； 一个完整的周期正弦函数是奇函数，如图（d）。 如果只考虑半个周期，而以 处为对称轴，半个周期的余弦 函数是奇函数，半个周期的正弦函数是偶函数。 余弦、正弦函数的频率加倍，它们的奇、偶性如图（e）和 （f）所