有限元分析2章.pptVIP

第二章 平面问题 2.1 平面问题的应变与应力 假设：连续体、匀质、完全弹性、小变形 位移：点在外部作用下的移动 应力： 应变： 一般情况，以上各物理量都是坐标函数 两类平面问题 （1）平面应力问题： 薄板，只受中面力作用，各点的位移只有U,V两个分量 （2）平面应变问题： 平面问题的几何方程： 平面问题的物理方程： 对于平面应力： 可解出 对于平面应变 可得 也可解出 可统一得应变与应力之间的弹性关系位 称为弹性矩阵，仅与 E, 有关。 2.2 平面问题的单元与节点 用有限元法分析平面问题时，人为地将所研究的平面分布许多小块（单元），单元间只以节点相连。 如果用简单的三角形单元就是将平面划分成一些三角形并在定点（节点）用平面铰链连接起来，并将载荷都等效地加在节点上。这就是有限元计算的力学模型。 平面问题的位移只有u,v两个分量。有限元的平面单元的每个 节点也是只有两个分量 同理，节点载荷也有两项分 量 ，若平面被划分出n个节点，则共有2n个节点位移分 量和 2n个节点载荷分量，整个平面结构就有2n个自由度。 有限元求解就是建立全部节点载荷 与全部节点位移 的关系，即 ，进而解出 。 存在两个问题： （1）有限元模型中各单元只以节点相连，如何保证与实践问题一致； （2）对于平面单元，其节点力和节点位移的关系如何确定。 2.3三角形3节点单元刚度分析 一任意三角元e ，顶点为节点，节点顺序l,m,n,单元节点位移为： 单元的节点力暂不考虑。假定单元内的位移为多项式形式： 位移函数 为待定系数 为确定 ，代入个节点的坐标，位移函数的值应取节点的位移值，有下列公式： 简写为 位移函数写成矩阵式 引入系数： 三角形面积为： 则位移函数表示为： ，称为形状函数矩阵 称为形状函数 形状函数的物理意义： 为单元的一种位移分布函数 形状函数的性质： 1、 2、 对前述问题1的回答 单元交界面上位移应保持连续，即相邻单元的公共边界上，两单元应有相同的边界位移值。 在三角元中，单元的位移采用线形插值，保证边界变形后仍为一直线。由于公共边界上的节点是相邻单元共有的，可保证在变形过程中两单元在交界边有相同的位移。 单元的应力与应变 应变： 或 称为应变矩阵 应变矩阵又可写成分块形式 一般情况， 为函数矩阵。 对于简单的三角形单元， 的元素均为常数，所以三角形3节点单元的应变为常数。 应力： 令 ，称 为应力矩阵 为弹性矩阵 则 2.3.3单元刚度矩阵 单元在节点力作用下，引起内部应力，而处于平衡状态。对于平衡状态，根据虚功原理，节点力的外力虚功与应力所做的内力虚功的和应为零。 现给单元节点任意的虚位移 单元内部产生相应的虚位移 单元的节点力 则外力虚功： 即 单元的内力虚功： 代入 由 令 则虚功方程表示为 就是e单元刚度矩阵 对于三角形3节点单元， 、 均为常数矩阵。 分块表示为 为对称矩阵。 任一子块表示为 2.4 解题过程 图为一厚度为h的平面薄片，承 受集中力p，建立简单的有限元