大学线性代数课件第四章第三节 向量组的秩.pptVIP

定理2 如果向量组 b1,b2,...,bt 可由向量组 a1,a2,...,as 线性表示, 且 t s, 则b1,b2,...,bt 线性相关. 证 设 验证 b1,b2,...,bt 线性相关, 考察 x1b1+x2b2+...+xtbt=0, （*） 即 当 时, (*)式显然成立. 而 (**) 式是 t 个未知量 x1,x2,...,xt 的齐次线性方程组, 由于ts (方程个数), 故方程组 (**) 式有非零解, 即有不全为零的 x1, x2, ..., xt 使 (*) 式成立, 所以 b1, b2,..., bt 线性相关. 证明： （往证 与 等价） 向量组 可由向量组 线性表示。 又 向量组 可由向量组 线性表示。 两个向量组等价 也是极大无关组。 用初等行变换求极大无关组的方法 此处 ， 为A的行向量组； 称 如果给定一个m×n矩阵 如果将A按行分块，即 * 向量组的等价是一种等价关系 明显的结论： 部分组可以被全组线性表出 等价． 　 向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 于是我们得到： 向量组线性相关的充要条件是它可以由某个部分组线性表出，或说它与某个部分组等价。 前一节知识告诉我们： (**) 推论2： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 推论1：n+1个n 维向量必线性相关。 推论3：两个线性无关的等价的向量组，必 包含相同个数的向量。 假定 是向量组A中的r个向量，如果: 是向量组A的一个极大线性无关组（或最大线性无关组），简称极大无关组。 定义 （1） 线性无关； （2） 向量组A中的每个向量可由 线性表示。 极大无关组的定义 则称 r 称为向量组A的秩，记为r (A)=r. 所有与（A）等价的部分组中， 的 向量个数是最少的，它刚好能线性 表示出（A）。 向量组的秩的定义是合理的。一般情况下, 极大无关组不唯一, 但不同的极大无关组所含向量个数是相同的（因为它们都与全组等价，由传递性知互相等价，又无关，故含 有相同个数的向量）。 规定：全由零向量构成的向量组的秩为0. 推论4 如果向量组a1,a2,..., as （I） 的秩为 r, 若 rs, 则 (I) 线性相关; 若 r=s, 则 (I) 线性无关. 推论5 设 秩 {a1,...,as}=p,  秩 {b1,...bt}=r, 如果向量组  b1,...,bt (II)可由向量组  a1,...,as (I)线性表示, 则 r ? p. 证 不妨设 a1,...,ap (I’) 和 b1,...br (II’)分别是两个向量组的极大无关组, 因此有 (I) 与 (I’), (II) 与 (II’) 分别等价. (II)可以由 (I)线性表示 (II’) 可以由 (I’)线性表示, 又它们均线性无关; (II’) 的向量个数≤ (I’)的向量个数.即r≤p. 推论6 等价的向量组的秩相等. (秩相等的向量组不一定等价) 加什么条件才可以? 例如 向量组A 的秩相等，都为 2. 但向量组 A 与 B 不等价. 例1 已知 确定 极大无关组的方法: 1.按照极大无关组的定义 “无关” “可以表出全组” 2.按照例子中的结论 “无关” “个数=秩” 3.等价定义 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： （2）任加一个向量都线性相关。 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个 极大无关组。 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 例2 为什么? 例3 * mxm (i) . (ii) 若向量组（I）线性无关，且组 (i) * (ii) 思考 设 是向量组