§4.1 微分基本定理.pptVIP

* ︽微积分︾ 第四章 微分基本定理 第四章 微分基本定理与导数的应用 主要内容 §4.1 微分学基本定理 (中值定理) §4.2 罗必达法则(求未定式的极限) §4.3 函数的单调增减性 §4.4 函数的极值与最大(小)值 §4.5 曲线的凹性与拐点 §4.6 函数作图的基本步骤与方法 §4.7 经济应用? 边际分析和弹性分析 §4.8 最大(小)值的应用 §4.1 微分学基本定理 引 言 导数虽然是研究函数性质的重要工具. 不过 仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作 用, 需要微分学的基本定理作为理论基础. 研究函 数的单调性、函数曲线的凹向、拐点、极值、最 大值和最小值 以及函数图形的描绘等等. §4.1 微分学基本定理 微分中值定理 费马定理 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 本节知识引入 在用函数的方法解决理论或实际问题时,需要 研究函数增量与自变量之间的关系. 研究函数在 满足一定条件下,在某个区间中的特点,并用导数 进行判断和解决. 本节目的与要求 一、明确中值定理的含义— 用导数研究函数在某 区间中的取值特点. 二、了解中值定理的内容 — ①罗尔定理; ②拉格朗 日定理及它们的几何意义 . §4.1.1 罗尔(M. Rolle)定理 观察函数 f(x)在[a,b]的图象 发现函数曲线有何特性? 有平行弦AB 的 切线. 定理 罗尔定理的几何解释: 端点函数值相等的连续光滑曲线 y = f(x) 在曲线上,至少有一点ξ切线与x轴平行. 证 0 x y ξ a b M=m 0 y x a b ξ ξ M 则数 M 与 m 中至少有一个不等于 端点的数值, 从而在区间(a , b)内至少存在一点 ?. 使得 f(?) = M 下面证明 因 f(?) = M, 则不论 ?x 0 或?x 0, 恒有 当?x 0时, 有 当?x 0时, 有 而 f(x)在(a, b)内可导, 则 则对 式(1)和 式(2)取极限有 注1.罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可. 否则结论不一定成立,用下列各图形分别说明: y x o y=f(x) a b o x y ° ° ξ a b f(x)在[a, b]内有间断点 x o y a b Y = f(x) y=f(x) ξ f(x)在(a, b)内有不可导点ξ 注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的. o x y Y = f (x) ° π 此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均 不满足, 但是却存在 和 ξ = π, 使 注3.罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在 一个ξ , 而不能肯定 ξ 的个数, 也没有指出实际计 算ξ 的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中 解出ξ . 验证函数 f(x) = x3 + x2 在区间[–1, 0 ]上满足罗尔 定理的条件, 并求出满足此结论中的 ξ 值. 例 1 解 (1) 因为函数 f(x) 初等函数在区间[–1, 0 ]上连续, (2) f ?(x) = 3x2 + 2x 在区间(–1, 0 ) 内存在,因而可导, (3) 端点函数值 f (-1) = 0 = f (0) 相等, 所以函数 f(x) = x3 + x2 在区间[–1, 0 ]上满足罗尔 定理的条件. (4) 令 f ?(x) = 3x2 + 2x = 0 , 解方程 3x2 + 2x = 0 得 x = 0 , 所以 在区间(–1, 0 ) 内存在 课堂作业 学习指导 155页-4.1和4.1题 解 (1) F (x) = x2 初等函数在区间[0, 3]上连续, (2) f ?(x) = 2x 在区间(0, 3) 内存在,因而可导, (3) 端点函数值 f (0) = 0 ? f (3)=9, 所以f (x) =x2 在区间[0, 3 ]上不满足罗尔定理的条件. 在x= 0处没定义, 不连续, 在区间[?1, 1]上不连续 所以f (x) 在区间[?1, 1 ]上不满足罗尔定理的条件. 在x= 0处不可导, 在区间(?1, 1)内不可导,不满足罗 尔定理的条件