量子力学4 态和力学量的表象.pptVIP

第四章　 态和力学量的表象 ?[教学目的]：本章主要介绍了表象概念、态和力学量在具体表象下的表示、量子力学中的关系式在具体表象下的表示、不同表象之间的变换、狄拉克符号、占有数表象。 §4.1 态的表象 ?一.??? ?矢量的表示 四、算符在具体表象中的表示 * §4.1 态的表象 §4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换 §4.3 ?? 量子力学中一些关系式的矩阵表示 §4.4?? ??表象变换下的不变量与不变式 §4.5?? ??狄拉克符号 §4.6?? ?占有数表象 小结与习题 矢量 ?? 基矢 对另一坐标系 ,??? 是矢量 在 坐标系中的表示，同一矢量 在不同坐标系中表示有什么关系? 矢量 在坐标系 中的表示。 同一矢量在不同坐标系中的表示通过一个幺正矩阵联系起来。 有什么性质？ 幺正矩阵 (真正交矩阵)? 二.? 态的表象与表象变换 表象: 态和力学量的具体表示方式。 量子力学中，量子态可看成Hilbert空间一矢量。 （一）.态的表象 是波函数和力学量在坐标表象中的表示，这种表示方法并不是唯一的。 任意态 动量本征函数? 1．?? 特例 组成完全基 是 所描写的态中测量粒子动量在 范围的几率. 与 描述的是同样的态, 为在动量表象中的波函数。 2、推广到一般情况 在任意力学量 的表象中，态的表示： 分立本征值： 本征函数： 　　是　　　　态 中测量力学量 　所得结果为　 　的几率。 　　　　　　　　　　为态 　　　　在　　 表象中的表示。 对于即有分立谱又有连续谱的情况： 用矩阵表示：? ??? 同一态可以在不同表象中用波函数来描写，所取的表象不同波函数形式也不同, 但它们描写同一态。 经典力学 比较： 量子力学 矢量 ? 普通三维空间 特定坐标系 本征函数 态矢量 希尔伯特（Hilbert）空间 特定 　表象 （二） 态的表象变换 态矢量 在力学量 的完备基下，即 表象下 表象 表象 在力学量 的完备基下 左乘 积分 二表象 ， 之间的关系 即： 矩阵表示 证明： 同一个量子态 在 表象中的不同表示的关系通过一幺正矩阵 S 相联系。 么正矩阵 §4.2 力学量算符的矩阵表示与表象变换 设一力学量 作用于态 得到另一态 在坐标表象中的表示为： 在任一表象 中的表示为： 分立本征值： 本征函数： 两边　　　左乘积分 是算符　　在　　表象中的表示 矩阵表示 证： 1、力学量算符为厄密算符，其矩阵表示为厄密矩阵。 2、力学量　　在自身表象　　中的矩阵表示为对角矩阵。 如　　具有连续本征值　　，本征函数为 在坐标表象中： 例： 求一维谐振子的坐标，动量及Hamilton量在能量表象中的矩阵表示。 [解]?? 线性谐振子的能级为?? ??? 对应的能量本征函数 ?? 利用公式： （1）坐标的矩阵表示： 为对角矩阵 （2）动量的矩阵表示： （3）能量的矩阵表示： 二、力学量的表象变换 力学量算符　 在 　表象中 是算符　 的本征函数 力学量算符　 在 　表象中 是算符　 的本征函数 §4.3 ?? 量子力学中一些关系式的矩阵表示 态矢量和力学量算符已用矩阵表示出来，也就是说态矢量和力学量算符在一确定的表象下可用矩阵表示。注意，这里的矩阵可能是无穷维，也可能矩阵指标是连续变化的。 一．? 平均值公式 在　表象中 矩阵表示 二、本征值方程 久期方程 方程组有非零解的条件： 线性齐次代数方程组 ： 求久期方程可得一组 值： 将 代入方程可求出相应的本征矢。 三．? 薛定谔方程 §4.4?? ??表象变换下的不变量与不变式 一、不变量 （1）标积 （2）归一化条件 （3）平均值 　　平均值是唯一同实验事实直接相联系的量，不应随表象不同而变。 （4）算符本征值 （5）力学量矩阵的迹 二、不变表达式 在量子力学中，算符之间的一切代数关系式在表象变换下都是不变的。 量子力学的基本公式在表象变换下是不变的，也就是说前面我们所涉及到的量子力学的基本公式是与表象无关的。 （