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第六章 刚体绕定轴的转动微分方程转动 刚体平动动力学问题 将刚体的质量集中在它的质心上，把刚体视为一个质点，应用质点的动力学微分方程求解刚体的平动问题。 6-1 刚体绕定轴的转动微分方程 刚体转动与质点动力学基本方程的比较 两者的形式完全类似； 转动惯量IZ是转动惯性的度量，质量m是质点运动惯性的度量。 例题1 已知飞轮的转动惯量为Jz=18X103kg·m2，在恒力矩Mz作用下，由静止开始转动，经过20s，飞轮的速度达到120r/min；若不计摩擦的影响，求力矩Mz。 例题1 已知飞轮的转动惯量为Iz=18X103kg·m2，在恒力矩Mz作用下，由静止开始转动，经过20s，飞轮的速度达到120r/min；若不计摩擦的影响，求力矩Mz。 例题2 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为T1和T2，求滑轮的角加速度。 例题3 求图中悬挂在固定水平轴上的刚体（称为复摆或物理摆）在微小摆动时的运动规律。 6-2 转动惯量 确定转动惯量的方法 （1）计算法 回转半径（惯性半径） 平行轴定理 计算刚体转动惯量的组合法 当物体由几个几何形状简单的物体组成时，计算物体整体的转动惯量可先分别计算物体每一部分对同一轴的转动惯量，物体整体的转动惯量等于各部分转动惯量之和。 如果物体有空心的部分，可将这部分质量视为负值处理（即这部分物体的转动惯量为负值）。 例题4 如图所示，均质空心圆柱体质量为M，外径为R1，内径为R2，求对于中心轴z的转动惯量。 确定转动惯量的方法 （2）实验法 思考题：两个重物M1和M2重量为G1、G2，分别挂在两条绳上，两绳又分别绕在半径为r1、r2的鼓轮的两轮上。已知鼓轮对转轴Ｏ的转动惯量为Ｊ，系统在重力作用下发生转动，求轮的角加速度。 * * 假设刚体绕z轴转动，角速度和角加速度分别为ω、α。刚体由n个质点组成， Mi为任意一个质点，质量为mi，到z轴的距离为ri。 假设刚体绕z轴转动，角速度和角加速度分别为ω、ε。刚体由n个质点组成， Mi为任意一个质点，质量为mi，到z轴的距离为ri。 刚体的转动惯量与角加速度的乘积等于作用于刚体上的外力对转轴之矩的代数和。 （刚体绕定轴的转动微分方程） （刚体绕定轴的转动基本方程） （1）如果作用于刚体的外力对转轴的矩的代数和不等于零，则刚体的转动状态一定发生变化。 （2）如果作用于刚体的外力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体静止或做匀速转动；如果外力对转轴的矩的代数和为一常量，则刚体做匀变速转动(刚体的角加速度为常量）。 （3）在一定的时间间隔内，当外力对转轴的矩一定时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。刚体的转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度，是刚体转动时惯性的度量。 （刚体绕定轴的转动微分方程） 刚体绕定轴的转动微分方程可以解决刚体绕定轴转动的两类动力学问题： （1）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力对转轴的矩； （2）已知作用于刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 解：（1）选择研究对象，画受力图 选取飞轮为研究对象，它受重力P，轴承约束力N和转矩Mz的作用。 （2）分析运动 Mz为常量，所以飞轮角加速度α也是常量，飞轮作匀变速转动。 （3）列转动微分方程，求未知力 （积分法） 解：（1）选择研究对象，画受力图 选取滑轮为研究对象，它受重力P，轴承约束力N和拉力T1、T2的作用。 （2）列转动微分方程，求角加速度 P N 解：（1）画受力图 刚体在重心C处受重力P的作用。 （2）列转动微分方程 设刚体对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量为JO。由于重力矩的代数值与偏角ψ的代数值总是异号，且刚体作微小摆动，有sinψ=ψ。所以有： 求解上述方程，得到： （二阶常系数线性方程） 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，它等于刚体内各质点的质量与质点到转轴的垂直距离平方的乘积之和。 转动惯量与质量的比值的平方根称为物体的回转半径（惯性半径） 回转半径仅与物体的几何形状和尺寸有关，而与物体 的材料无关。（几何形状相同而材料不同的物体的回 转半径是相同的。） 平行轴定理：物体对任意轴z’的转动惯量Jz’等于物体对过质心且与z’轴平行的z轴的转动惯量，再加上物体的总质量M与二轴间距离d的平方之积。 刚体对于通过质心的轴的转动惯量最小。 解：空心圆柱可看作由两个实心圆柱体组成，只是内圆柱体的转动惯量J2取负值，即有： 其中： 于是有： 设空心圆柱体的密度为ρ，则有： 代入转动惯量计算式，有： 鼓轮 重物M1 重物M2 *