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第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差及相关系数 矩、协方差矩阵 §1 数学期望 §2 方差 四、切比雪夫不等式 一、协方差 * * 设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示： 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2 一、数学期望的定义 则学生的平均成绩是总分÷总人数(分)。即 定义 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且 ， 则称 为随机变量X的数学期望。 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 例 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。 解： 定义 若X~f(x), -?x?, 为X的数学期望。 则称 例 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 试求E(X)。 解： 1、0-1分布B(1, p) EX=1×p+0×(1-p)=p； 2、二项分布B(n, p) 二、几个重要的随机变量的数学期望 3、泊松分布π(λ) 4、均匀分布U(a, b) 5、指数分布e(?) 6、正态分布N(?, ?2) 设随机变量X的分布律为 解: Y的分布律为 求随机变量Y=X2的数学期望。 X Pk -1 0 1 Y Pk 1 0 三、随机变量函数的期望 定理 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则Y=g(X)的期望 定理 若(X, Y) ~ P{X=xi ,Y=yj,}= pij, i, j=1, 2, … , 则Z= g(X，Y)的期望 若X~f(x), -?x?, 则Y=g(X)的期望 若(X, Y) ~f (x, y), -?x?, -?y?, 则Z=g(X, Y)的期望 例 设随机变量X~B(n,p),Y=e2X,求 E(Y) 例 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY)。 解: 1、E(C)=C, C为常数; 四、数学期望的性质 2、E(cX)=cE(X), c为常数； 3、E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 证明:以连续型随机变量为例，设(X,Y)~f(x,y)，则 4、若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 证明: 同样，以连续型随机变量为例，设 (X,Y)~f(x,y)，则 例 设随机变量 均服从 求随机变量 的数学期望 解: 分布， 例 若X~B(n,p),求E(X) 解:设 则 因此 例：设某种疾病的发病率为 p，在 N 个人中普查这种疾病,为此要化验每个人的血。方法是，每k个人一组，把从 k 个人抽来的血混在一起化验，如果混合血样呈阴性，则通过，如果混合血样呈阳性，则再分别化验该组每个人的血样。假设每个人的化验反应相互独立。 (1) 试说明：当 p 较小时，相比一个个地验血，选取适当的 k 可以减少化验次数； (2) 求k的最佳值。 五、数学期望的应用 一送客汽车载有20名乘客,乘客有10个车站可以下车,如果到达一个车站没有乘客下车就不停车,设每位乘客在各个车站下车是等可能的,以X表示停车次数,求E(X). 设X、Y分别表示甲乙两个车工车出来的某种零件的长度。 X 28 29 30 31 32 Y 28 29 30 31 32 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 E(X) = E(Y) = 30 如何定义？方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。 一、方差的定义 定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2, 为随机变量X的方差，记为D(X), 或Var(X)。 称 为随机变量X的标准差。 可见 推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证明: D(X)=E[X-E(X)]2 例 设随机变量X的概率密度为 (1)求D(X), (2)求D(X2)。 解： 1、D(C)=0； 2、D(aX)=a2D(X), a为常数； 证明: 二、方差的性质 3、 特别地，若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 1、二项分布B(n, p) 三、几个重要的随机变量的方差 设 则 且 2、泊松分布π(?) 3、均匀分布U(a, b) 4、指数分布e(?) 5、正态分布N(?, ?2) 例 设活塞的直径 X~N(22.40,0.032), 气缸直径Y~N(22.50,0.042), X与Y 相互独立。任取一只活塞和一只气缸，求活塞能装入气缸的概率。 例 已知随机变量X1, X