w2.3函数的微分 高等数学 专升本.pptVIP

复合函数的微分的法则 练一练 求下列函数的微分 复合函数的微分的法则 提示： 复合函数的微分的法则 复合函数的微分的法则 复合函数的微分的法则 2、隐函数的微分 步骤： 1、对方程两边分别求微分 2、利用微分形式的不变性，分别 对变量 和 微分 3、移项整理求得. 复合函数的微分的法则 例5 求由方程 确定的函数 的微分 与导数 解： 对方程两边分别求微分，得 即 复合函数的微分的法则 复合函数的微分的法则 课堂 练习 求由下列方程确定的隐函数的微分 提示： 1、对方程两边分别求微分，得 复合函数的微分的法则 2、对方程两边分别求微分，得 复合函数的微分的法则 例6 将适当的函数填入括号内，使等式成立 复合函数的微分的法则 解： 复合函数的微分的法则 复合函数的微分的法则 随堂练习 2.3.5微分在近似计算中的应用 四、求函数改变量的近似值 1、公式： 若 当 很小时， 有 即 2.3.5 微分在近似计算中的应用 有一批半径为1cm的铁球，为了提高球的 耐用性，要镀上厚度为0.01cm后的一层铜，试估计一 下每只球需用铜多少克？（已知铜的密度为 ） 解： 球体体积 镀铜后 镀铜的体积为 例7 2.3.5 微分在近似计算中的应用 2、工程计算中的常用近似公式： 2.3.5微分在近似计算中的应用 五、求函数值的近似值 1、函数近似值的公式： 即 2.3.5微分在近似计算中的应用 公式： 注 此公式可用来计算函数 在某点 附近的函数值的近似值. 2.3.5微分在近似计算中的应用 2、求函数近似值的步骤： (1)、设函数 求出 (2)、根据 求得 (3)、利用公式 2.3.5微分在近似计算中的应用 例8 求 的近似值 解： 设函数 则 即 令 2.3.5微分在近似计算中的应用 特注 用公式 求函数值时， 选定的 应使 易于求出， 且 要相 对较小. 2.3.5微分在近似计算中的应用 课堂 练习 用微分法求 的近似值 提示： 设函数 则 即 令 * 2.3 函数的微分 2.3 函数的微分 2.3.1 引例 2.3.2 微分的概念 2.3.3 微分基本公式与微分运算法则 2.3.4 复合函数的微分法则 2.3.5 微分在近似计算中的应用 微分的概念 一、微分的概念 引例 有一边长为 的正方形薄片，加热后 边长增加了 求金属薄片面积改变量的 近似值. 解： 如图所示 金属薄片的面积 分析： 上式包括两部分： 当边长增加 时, 相应的面积 的改变量 第一部分 是 的线性函数， 第二部分 当 时, 是比 高阶的无穷小量. 微分的概念 微分的概念 可用第一部分 而将第二部分忽略掉， 因此,当 很小时， 近似地表示 我们把 叫做正方形面积 的微分,记作： 1、函数 在点 的微分 设函数 在点 处可导, 称 微分的概念 为函数 在点 处的微分,记作 即 说明 1、设函数 在点 处可导, 称 为函数 在点 处的微分, 记作 即 微分的概念 2、自变量的微分 就是自变量的改 变量 即 3、对于函数在点 处的微分可记作： 函数在点 处的微分可记作： 微分的概念 4、导数又称为微商 即 函数的导数就是函数的微分 与自变量的微分之商, 又称微商. 因此,导数 微分的概念 例1 设函数 ,求 解： 微分的概念 改变量 及微分 求函数 在 时的 例2 解： 当 时 微分的概念 已知函数 ，在 处，求当 时函数的改变量和微分 当 时 提示： 当 时， 当 时， 微分的概念 微分的概念 2、微分的几何意义： 几何意义： 就是线段 它是函数 在点 的 切线纵坐标的改变量 微分的计算 二、微分的计算 (一)、微分的基本公式 微分的计算 微分的计算 微分的计算 (二)、微分的运算法则 设 都是关于 的可导 函数，则有 ( 为常数) 微分的计算 微分的计算 例3