w4.1定积分的概念及性质（一） 高等数学 专升本 同济第六版.pptVIP

一点 则乘积 的和式为 ， 若不论对区间 采取何种分法， 也不论 在 中如何取法, 只要当 时， 极限 存在，则 称函数 在区间 上是可积的. 并称此极 限值为函数在 上的定积分.记作 §4.1.1 定积分的概念 即： 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 被积表达式 积分和 §4.1.1 定积分的概念 积分区间 §4.1.1 定积分的概念 说明 1、定义中,区间 的划分是任意的， 的选取是任意的. 2、定积分的 结果是一个确定的常数. 3、定积分的值与积分变量的记号无关. 即 4、不是任何函数的定积分都存在. §4.1.1 定积分的概念 5、在定积分定义中,总是假设 若 则 定积分存在的两个充分条件 §4.1.1 定积分的概念 定理1 设函数 在区间 上的连续,则 在 区间 上可积. 定理2 设函数 在区间 上有界, 且只有有限 个第一类间断点, 则 在区间 上可积. §4.1.1 定积分的概念 定积分的几何意义 (1)、若 则 (2)、若 则 §4.1.1 定积分的概念 (3)、若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有正有负， 则 §4.1.1 定积分的概念 几何意义 定积分 就等于由曲线 直线 及x轴所围成各个曲边梯形面 积的代数和. §4.1.1 定积分的概念 利用定积分的几何意义，计算： 例1 解： (1)、如图 o x y 1 (1,3) 1 S （1） §4.1.1 定积分的概念 (2)、如图 o x y 1 1 S （1） §4.1.2 定积分的性质 二 定积分的性质 性质1 常数因子可以提到积分号外.即 性质2 两个函数代数和的定积分等于它们 定积分的代数和.即 §4.1.2 定积分的性质 性质3 (定积分对区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间 上均可积，则有 上式不论a,b,c的大小如何总是成立的 §4.1.2 定积分的性质 性质4 (保号性) 若函数 与 在区间 上总满足条件 则有 例2 比较下列各题中两个积分值的大小 与 与 解： 1、 与 与 2、 §4.1.2 定积分的性质 §4.1.2 定积分的性质 练一练 比较下列各题中两个积分值的大小 §4.1.2 定积分的性质 推论1 则 若函数在区间 上上可积，且 推论2 若函数在区间 上可积，则 §4.1.2 定积分的性质 §4.1.2 定积分的性质 性质5 (估值定理) 若函数 在区间 上的最大值与最 小值分别为 与 ，则 此性质用来估计定积分的范围 §4.1.2 定积分的性质 例3 试估计定积分 值的范围 解： 令 在区间 上是增函数 §4.1.2 定积分的性质 性质6 (微分中值定理) 一点 使得 若函数 在区间 上连续，则至少存在 特注 在[a,b]上的平均值 §4.1.2 定积分的性质 例4 求 在[0,2]上的平均值 解： 如图所示 §4.1.2 定积分的性质 (一) 积分思想先于微分的产生“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德（Archimedes ，287 BC~212 BC）等人提出的计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的．只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分是互逆的两种运算．这是微积分建立的关键所在．莱布尼兹创立了积分符号 ．这些符号进一步促进了微积分学的发展，并一直沿用至今． 背景 积分学的背景 §4.1.1 定积分的概念 一 定积分问题举例 1．曲边梯形的面积 曲边梯形的定义 设 在区间 上非负、连续. 由直线 及曲线 所围成的图形称 为曲边梯形. 其中曲线弧称为曲边, 线段AB称为底边. A B a b x