§4.5-4.6凹向拐点渐进线.pptVIP

这里的极限过程可以是 以上的极限实际是 斜渐近线 §4.6函数图形的描绘 例 1 §4.6函数图形的描绘 求曲线 y = arctanx 的渐进线 解 当函数在无穷远有极限B, 必有水平渐近线 y=B 是曲线的两条水平渐近线. 如图所示 O 水平渐进线 水平渐进线 ③ 典型 例题 例 2 求曲线 的渐进线 . 解 当x??时, 函数 f (x) ?0 , ?水平渐近线 y = 0. ? x =1 是函数的无穷间断点, 必有铅垂渐近线 x = 1. 如图所示: O x y 1 水平渐进线 铅垂渐进线 曲线可以穿过其渐近线 . §4.6函数图形的描绘 例 3 解 曲线无铅垂渐进线 §4.6函数图形的描绘 例 4 解 没有水平渐进线 1.作函数图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域 , 观察奇偶性、周期性 . (2) 求函数的一、二阶导数 , (3) 列表 确定函数的单调性、凹凸性、极值和拐点 . (4) 求曲线的渐近线 . (5) 作出函数的图形 . 三、函数图形的描绘 确定极值可疑点和拐点可疑点 . §4.6函数图形的描绘 2 . 典型 例题 例 5 描绘函数 的图形 . 解 (1) 函数的定义域为 (?? ,?1)∪(-1, 1)∪(1, +?). (2) 因所给函数是偶函数 , 故图形关于y 轴对称. (3) 先求函数一阶、二阶导数. 令 y? = 0, 得驻点 x1 = 0 令 y? = 0, 无解. * ︽微积分教程︾ 第四章 导数应用 引 言 虽然函数 f(x)的单调性可用函数 的一阶导数的正、负号来判断.如图: 曲线弧AB是单增的曲线. 但从A到C 的曲线是向下弯(或凸)的; 从C 到B 的曲线是向上弯 (或凹)的. 显然, 曲线的弯曲方向和弯曲方向的转变点 对我们研究函数的图形是十分重要的. 这就是下面讨 论的凹向与拐点. A ? C B §4.5 曲线凹向与拐点 一、曲线的凹凸性、拐点 二、曲线的渐近线 三、函数图形的描绘 本节主要内容 本节学习要求 一、理解凹凸性、拐点的概念 二、掌握凹凸性、拐点的判断 三、会求曲线的渐近线 §4.5 曲线凹向与拐点 1.问题的引出 我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的 曲线的图形吗? . . 一、凹凸性、拐点概念 . 拐点 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别曲线弧位于相应的弦线 “上方”或“下方”的问题 , 即曲线的弯曲方向. 这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 . 函数 f(x)单调变化时,函数曲线弯曲方向是不同的 简单地说 , 在区间[a, b] 上 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为下凹的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为上凹的. 下凹 2. 凹向的概念 上凹 3. 凹向的定义 定 义 设函数 y = f (x)在区间 I 内连续 , 若 区间I 内任意两点 x1 , x2 ? (x1 ? x2 ) 则称 曲线 y = f (x)在区间 I 内下凹的 , 则称 曲线 y = f (x)在区间 I 内上凹的 . 凹凸性的高等定义是… 定义: 如果在区间(a, b)内,曲线弧 在其上每一点的切线上方,则称: 曲线在(a, b)内是上凹的;反之,则 称:曲线在(a, b)内是向下凹的. 4. 凹向定义的图示 由上图可知,上凹曲线弧位于切线上方. 同样,下凹曲线弧位于切线的下方. 5. 典型例题 判断函数 y = x3 的凹凸性. 解 先观察函数 y = x3 的图形 O x y 下凹 上凹 观察函数图形可知 ① 函数 y = x3 在(?? , 0)内 是下凹的. 而且 y? = 6x 0 ② 函数 y = x3 在(0 , +?)内 是上凹的. 而且 y? = 6x 0 当x = 0时 , y? = 0 ③ 点(0, 0)是函数 y = x3 的凹凸性的分界点. 有何想法? y = x3 能不能根据函数的 二阶导数的符号来 判别函数所对应的 曲线的凸凹性呢？ 我看行 定理 设函数 y = f (x)在 (a, b) 内有二阶导数 , ① 如果函数在(a, b)内每一点x, 恒有 f ?(x) 0 , 则 曲线 y = f (x)在 (a, b) 内上凹的, ② 如果函数在(a, b)内每一点x,