第2章 函数逼近的插值法2.pptVIP

分段线性插值 前面我们根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式Ln(x)近似表示f (x)。一般总以为Ln(x)的次数越高，逼近f (x)的精度越好，但实际并非如此，次数越高，计算量越大，也不一定收敛。因此高次插值一般要慎用，实际上较多采用分段低次插值。 1 分段插值 分段线性插值 分段线性插值 分段线性插值 分段三次Hermite插值 上述分段线性插值曲线是折线，光滑性差，如果交通工具用这样的外形，则势必加大摩擦系数，增加阻力，因此用hermite分段插值更好。 分段三次Hermite插值 分段三次Hermite插值算法 2 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 三次样条插值 例题 例2.4.1 已知函数y=f(x)的数表如下表所示。 求满足边界条件 解 做差商由于是等距离节点, 由第二类边界条件得 解方程得 将Mi代（*）式得 MATLAB实现 x=0:0.15:0.60; y=[1,0.97800,0.91743,0.83160,0.73529]; y1=interp1(x,y,0.2,spline) y1 = 0.9615 对离散数据的曲线拟合最小二乘法 曲线拟合问题 对于f(x)插值问题,要想提高精度,就要增加节点,因此多项式的次数也就太高,计算量过大,而节点少,多项式的次数低,但误差精度不能保证,为了消除误差干扰,取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示f(x),这就是曲线拟合问题. 直线拟合 曲线拟合 在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数据: ,求曲线 与实验数据误差在某种度量意义下最小. 设 是[a,b]上一组线性无关的连续函数,令 特例 例题 例1 设函数y=f(x)的离散数据如下表所示 试用二次多项式拟和上述数据,并求平方误差. 解 由式(*)可得 解方程组得 所以拟合二次函数为 平方误差为 MATLAB实现 x=[0:0.2:1]; y=[1.000,1.221,1.492,1.822,2.226,2.718]; [p,s]=polyfit(x,y,2); y1=polyval(p,x); plot(x,y1,b:,x,y,r^) 例2 地球温室效应问题 下表统计了近100年内地球大气气温上升的数据.试根据表中数据建立一数学模型即拟和曲线,并根据这一模型,预报地球气温何年会比1860年的平均温度高 解 为简化数据,从1880年起年份记N,其变换n=(N-1870)/10.将地球气温增加值改记为t=1,2,3,4,6,8,10,13,18,24,32,也就是将原气温增加值扩大100倍,根据新数据绘制图如下 从上图可以看出,气温t与变换n大致服从指数函数增长过程,因此,可以假设t与n满足指数函数关系 为决定参数α,β将上式改写成 记 则有 这是已知数据相应地变为如下表所示 由（*）式取n=1,m=10,并将上表已知数据带入得 解方程组得: 相应的t 与 n 的指数型拟合曲线关系为 就是所求地球温室效应的指数函数的数学模型,以此进行预报,即已知t值求 以地球气温比1860年上升 为例,即以t=700代入上式可得: N(7)=2078(年) 记误差 .为寻求 我们常以误差 加权平方和最小为度量标准,即 达到极小值,这里 是[a,b]上的权函数. 有多元函数极值必要条件有 2.718 2.226 1.822 1.492 1.221 1.000 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 5 4 3 2 1 0 0.08 1930 0.32 1980 0.06 1920 0.24 1970 0.04 1910 0.18 1960 0.03 1900 0.13 1950 0.02 1890 0.10 1940 0.01 1880 1860年后地球气温增加值 年份N 1860年后地球气温增加值 年份N ln32 ln24 ln19 ln13 ln10 ln8 ln6 ln4 ln3 ln2 ln1 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 n * * 缺点：I(x)连续，但不光滑，精度较低,仅在 0.73529 0.83160 0.91743 0.97800 1 f(x) 0.60 0.45 0.30 0