数值计算方法第六章第一节 常微分方程数值解.pptVIP

其解析解为 。分别用h=0.025的显式Euler方法，h=0.05 改进Euler法和h=0.1的经典R-K方法计算到x=0.5。三种方法在x方 向每前进0.1都要计算4个右端函数值，计算量相当。计算结果列于 表6-3。从计算结果看，在工作量大致相同的情况下，还是经典方法 比其他两种方法的结果好得多。在x=0.5处，三种方法的误差分别是 。经典R-K法对多数好条件问 题（ ，参见下节单步法的稳定性），能获得好的效果。 表 6-3 Euler法 改进Euler法 经典R-K法 准确解 h=0.025 h=0.05 h=0.1 0.1 0.096312 0.095123 0 0 0.2 0.183348 0.181193 0 0 0.3 0.262001 0.259085 0 0 0.4 0.333079 0.329563 0 0 0.5 0.397312 0.393337 0 0 在微分方程数值解法的实际计算中，有个如何选择步长的问题。因为单从每一步看，步长越小，截断误差越小。但随着步长的缩小，在一定求解范围内所要完成的步数就增加了。步数的增加不但引起计算量的增大，而且可能导致舍入误差的严重积累。 在选择步长时，我们需要衡量和检验计算结果的精度，并依据所获得的精度 处理步长。下面以经典R-K方法为例进行说明。 从节点 出发，先以h为步长求出一个近似值 ，由于公式的局部截断 误差为 ，故有 然后将步长折半，既 h/2 为步长，从 跨两步到 ，再求得一个近似 值 ，每跨一步的截断误差约为 ，因此有 比较上述二式，有 由此易得下列事后估计式 这样，我们可以通过检查步长折半前后两次计算结果的偏差 来判定所选的步长是否合适。 兰州交通大学数理与软件工程学院 nm0931@126.com －*－ * 第6章 常微分方法的数值解法 　　科学技术与工程问题常常需要建立微分方程形式的数学模型，下面是这类问题的例子。 　　设N（t）为某物种的数量， 为该物种的的出生率与死亡率之差， 为生物的食物供给及它们所占空间的限制，描述该物种增长率的数学模型是 　　设Q是电容器上的带电量，C为电容，R为电阻，E为电源的电动势，描述该电容器充电过程的数学模型是 　　以上两个例子是常微分方程初值问题，下面是一个两点边值问题的例子。 设一跟长为L的矩形截面的梁，两端固定。E是弹性模量，S是端点作用力，I（x）是惯性矩，q是均匀荷载强度，梁的桡度y（x）满足如下方程 　　针对实际问题建立的数学模型，要找出模型解的解析表达式往往是困难的，甚至是不可能的。因此，需要研究和掌握微分方程的数值解法，即计算解域内离散点上的近似值的方法。本章讨论常微分方程数值解的基本方法和理论。 6.1 Euler 方法 6.1.1 Euler 方法及其有关的方法 　　考虑一阶常微分方程初值的问题： 设f（x,y）是连续函数，对y满足Lipschitz条件，这样初值问题的解是存在唯一的，而且连续依赖于初始条件。 为了求得离散点上的函数值，将微分方程的连续问题（6.1.1）进行离散化。一般是引入点列{ }，这里　　　　　　　　　　　　　　　为步长，经常考虑定长的情形，即