1.4算术基本定理.pptVIP

§1.4 算术基本定理 1. 算术基本定理 2.自然数的所有正约数的个数 及所有正约数的和与积 因数和质因数 几个数相乘，这几个数都是积的因数． 例如 3×4=12，3×5=15，2×2×5=20. 3 与 4 都是 12 的因数，3 与 5都是 15 的因数，2，2，5都是20的因数. 分解质因数一定可行且唯一吗? 分解质因数是一种运算, 它是否一定可行?可行的话，结果是否唯一? 答案是肯定的，此即本节要讨论的算术基本定理。 定理1.4.1 设 a, ai , ( i = 1, 2, … , n ) 是正整数，p 是质数，n≥2，则有 定理1.4.2 设整数 a 1，则必有 数), 且在不计次序的意义下，表达式是唯一的． 标准分解式 由算术基本定理知分解质因数永远可行且唯一. 为了讨论的方便, 我们把一个整数 a 中相同的质数合并写成幂的形式，即得 作为特例，把一个质数分解质因数就是该质数本身. 例 1 求9828和328000的标准分解式。 例3 a, b是正整数，规定运算“﹡”如下：如果 求自然数 x． 解 因为 204421 200 304， ∴ 满足要求的连续四个自然数在20与30之间，而 421 200 =24×34×52×13．13 20, ∴ 四个连续自然数中有一个数是13的倍数，且这个数小于30，只能为26. 定理1.4.3 和 推论 定理1.4.3 设 ，则 d 是 a 的正约数的充要条件是 推论给出了通过分解质因数求几个数最大公约数与最小公倍数的方法: (1) 先将所给的各个数分别进行质因数分解； (2) 再把每个公有的质因数，取指数最小的幂相乘，所得的结果就是这几个数的最大公约数; 把各个公有的质因数的最高次幂以及各个数独有的质因数的幂相乘，所得的结果就是这几个数的最小公倍数． 例4 用分解质因数法求　(1008,1134,1224)， ［1008,1134,1224］． 解 因为 1008=24×32×7， 1134=2×34×7 1224=23×32×17． 教材例6 　 设 p 为质数，a, r∈N+，如果 pr | a，且 ，这时称 pr 为 a 的 p 成分，用 p(a) 表示 a 的 p 成分的幂指数，即p(a) = r. 　试证： 2.自然数的正约数的个数 及所有正约数的和与积 定理1.4.4 如果自然数a的标准分解式为 那么 定理1.4.5 证明 设A、B、C分别表示a、b、c的约数集合，即 定理1.4.5 推论　若 a 的标准分解式为 则σ(a) ＝ (1+ p1+ p12+…+ p1α1 ) (1+ p2+ p22+… + p2α2) …(1+ pn+ pn2+…+ pnαn ) 定理1.4.6 证明 a 的一切正约数共有　　个，设分别为 与此同时 例4 120以内仅有10个正约数的自然数有几个？ 教材例9（63页） 已知 A 有12个正约数，B 有10 个正约数, 且A、B的标准分解式中都只含有质因数 3 和 5，（A，B）= 75，求 A+B。 教材例10　求证：若 a 2, 则 证明：(1) 若a＝2k (k≥2), 则 (2)若a＝pk (p≥2), 则 作业 P65 习题1-4 ex2 ex4 ex10 ex13 定理1.4.1证明 定理1. 4. 2 证明(续) 下面对s用数学归纳法证明分解的唯一性. 因为都是a的分解式,所以 根据归纳假设知，s－1 = r－1，即 r = s. 并且经适当调换顺序可使pi ＝qi，i＝1, 2, … , s. 证明 定理1.4.5 推论证明　当 n = 1 时, 显然. 换一道简单点的: 解 把题中八个数分解质因数，得， 2＝2， 4=22， 6=2 × 3， 8=23， 12＝22×3，16=24，24＝23×3，48＝24×3． 它们共有20个质因数为2，4个质因数为3．因此每组四个数中只需有10个质因数2, 2个质因数3, 这两组的乘积就能相等. 由此可得下面四种分法： (1) 2 × 4× 24× 48与6 × 8 × 12 × 16; (2) 2 × 6 × 16 × 48与4 × 8 × 12 × 24； (3)