A第2章 随机变量及其分布.pptVIP

第二章 随机变量及其分布 随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其密度函数 随机变量函数的分布 §1 随机变量 三.几个常用的离散型分布 若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X 服从参数为n,p的二项分布。记作 X～B(n,p), 其分布律为： 例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率大小. §3 分布函数与连续型随机变量 2.分布函数的性质 二、 连续型随机变量及其概率密度 3.几个常用的连续型分布 §4 随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的密度函数 例4 设X～fX(x),求Y=X2的概率密度。 本章小结 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。也是我们整个课程中最重要的分布。 （3）、正态分布 A B A，B间真实距离为?，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？ 其中?为实数，?0，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为N(?, ?2)，可表为X～N(?, ?2)。 若随机变量 (1) 单峰对称（位置参数?） 密度曲线关于直线x=?对称; 并且 max f(x) ＝ f(?)＝ . 正态分布有两个特性 (2) ?的大小直接影响概率的分布(形状参数? ) ?越大，曲线越平坦， ?越小，曲线越陡峻。 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 参数?＝0，?2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 标准正态分布 分布函数表示为 其密度函数表示为 一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅?(x)的值(P439附表2)。如?(0.5)=0.6915, P{1.32X2.43}=?(2.43)-?(1.32)=0.9925-0.9066 显然， ?(－x)＝1－?(x)；设X~N(0,1)，则 P{aXb}=?(b)－?(a)，P{|X|x}=2?(x)－1 一般正态分布与标准正态分布的关系 定理 若X～N(?, ?2)，则 因此 1、设随机变量X~N(1,22), 则 P{0X1.6}=? 2、设 X?N(?,?2), 求 P{|X-?|3?} 注 上述问题2的结果称为正态分布的3?原则。在工程应用中,若X?N(0,1)，通常认为P{|X|≤3} ≈1,忽略{|X|3}的值。比如，在质量控制中，常用标准指标值±3?作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常. 例3 从A地到B地有两条路线可供选择，第一条路线较短，但交通拥挤，所需时间服从N(50,100);第二条路线较长，交通较顺畅，所需时间服从N(60,16)。（1）若有70分钟可用，应走哪条路？ （2）若有65分钟可用，应走哪条路？ 一、离散型随机变量函数的分布律 问题: 设X一个随机变量，分布律为 X～P{X＝xk}＝pk, k＝1, 2, … 若y＝g(x)是一元单值实函数，则Y＝g(X)也是一个随机变量，求Y的分布律。 例1: 已知X的分布律为: X Pk -1 0 1 则Y=X+1的分布律为: Y Pk 0 1 2 或 Y＝g(X)～P{Y＝g(xk)}＝pk ， k＝1, 2, … 其中若g(xk)有相同的，其对应概率合并。 一般地 X Pk Y=g(X) 例2: 已知X的分布律如下，求Y=（X-1)2的分布律 X Pk -1 0 1 2 一般方法: 若X～f(x), -? x +?, Y=g(X)为随机变量X 的函数，则可先求Y的分布函数 然后再求Y的密度函数 此法也叫“分布函数法” FY (y) ＝P{Y?y}＝P {g(X) ?y}= FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} = P{X?g-1(y)}=FX(g-1(y)) ? Y的概率密度 fY(y)=F?(g-1(y))=fX(g-1(y)) ( g-1(y))′ 例3 设X的概率密度为fX(x), y=g(x)是x的严格单调函数且关于x处处可导，求Y=g(X)的概率密度。 FY(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y} = P{X ≥g-1(y)}=1-FX(g-1(y)) 当y=g(x)是x的严格单减函数时,Y的分布函数 解：当y=g(x)是x的严格单增函数时,Y的分布函数 定理1: 若X～fX(x), y=g(x)是x的单调可导函数，则