机械控制工程-第三章-3.4-ly-2010.pptVIP

3.4 二阶系统 4．?＞1（过阻尼） 用留数法求得系数A、B，得时域响应式： 留数法 已知： 一定可以写为： 其中常数A、B通过下面方式求得（通过留数法求得） 响应曲线： ? 1时的近似处理：此时 可近似地等效为具有时间常数为 的一阶系统。时域响应式为： xo(t) t 0 ? 1时单位阶跃响应 ? 取不同值(? 0)时二阶系统的位阶跃响应的曲线如下图所示： z=0.2 z =0.4 z =0.6 z =0.8 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 tp y(t) t z =1 z =0.707 几个特征： 1、 z=0（无阻尼）时，等幅振荡； 2、0 z 1（欠阻尼）时， z 越小，振荡越严重，衰减越慢； 3、 z =1 （临界阻尼）时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态； 4、 z 1（过阻尼）时， z 越大，曲线单调上升过程越缓慢。 分析：从图可知，二阶系统的单位阶跃响应函数的过渡过程随着z ↓ ，其振荡特性表现得愈加强烈，但阻尼的存在消耗能量仍为衰减振荡， 当z =0 时，无能耗系统呈现等幅振荡。过渡过程的时间延长，难于达到稳态。 由图可见，一定存在最佳值z ， 使振荡时间短，振动次数少，振幅不超标，这一阻尼值便是z=0.707 ，一般工程实际中取z=0.4～0.8，此时二阶系统的过渡过程调节性能最佳。 三、二阶系统响应的性能指标 后面有关二阶系统的性能指标都是针对二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应来定义的。主要原因如下所述： 系统的单位阶跃响应比较容易求得，而且根据系统的单位阶跃输入响应也比较容易求得系统对任意输入的响应； 单位阶跃输入信号具有典型性，实际中的许多输入信号与单位阶跃输入信号类似。 现实当中的二阶系统大部分都是二阶欠阻尼系统，因为： 完全无振荡的单调过程的过渡过程时间太长，所以，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常允许控制系统有适度的振荡，其目的是为了获得较短的过渡过程时间。所以工程实际中设计二阶系统时常取z =0.4～0.8范围。 综上所述，由于单位阶跃响应的特点以及二阶欠阻尼系统的普遍性，后面有关二阶系统的性能指标都是针对二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应来定义的。 由于不同的二阶系统之间的区别主要体现在系统的过渡过程的特点不同。由此，再进一步准确地说： 有关二阶系统的性能指标都是针对二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应的过渡过程来定义的 z=0.2 z =0.4 z =0.6 z =0.8 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 tp xo(t) 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线 t 在欠阻尼情况下，二阶系统的单位阶跃响应过渡过程性能指标主要有以下两个方面： 1、上升时间tr； 2、峰值时间tp； 3、最大超调量Mp； 4、调整时间ts ； 5、振荡次数N xo(?)=1 0 t 二阶系统瞬态响应性能指标 tr (1)上升时间tr：响应曲线从原工作状态出发，第一次达到输出稳态值xo(?)的时间。 xo(t) xo(t) t 0 ? 1时单位阶跃响应 tr 10％ 90％ 对于过阻尼系统，上升时间的定义如下： 根据上升时间的定义（响应值首次上升到其稳态值所需时间），有： 其中： tr xo(?) =1 0 xo(t) t 根据式（3.4.9): 整理上式可得： tr xo(?) =1 0 xo(t) t 分析： z一定时，wn↑则tr ↓； wn一定时， z ↑则tr ↑ 。 (2)峰值时间tp：响应曲线达到第一个峰值所需时间。 xo(?)=1 0 t 二阶系统瞬态响应性能指标 tp xo(t) 整理得： 根据高等数学中函数求极值的方法，对上式求导： tp xo(?) =1 0 xo(t) t 推导在下一页 由定义可知： 峰值计算公式： 峰值时间是有阻尼振荡周期2p/wd的一半。 tp xo(?) =1 0 xo(t) t 分析： z一定时，wn↑则tp ↓； wn一定时， z ↑则tp ↑ 。 此结论与tr相同。 （3）最大超调量 xo(?) 0 t 二阶系统瞬态响应性能指标 xo(t) Mp 它是描述系统相对稳定性的一个主要动态性能指标。 注意：Mp用百分数表示。 xo(?) 0 t xo(t) Mp 整理后得： 计算超调量公式： 由上式可见，超调量Mp仅与阻尼比 ? 有关,与无阻尼固有 频率wn无关。所以Mp的大小直接说明系统的阻尼特性。 ζ Mp 0.2 52.67% 0.3 37.2% 0.4 25.3% 0.6 9.48% 0.7 4.6% 0.8 1.52% 0.9 0.15% 1.0 无