立体几何解答题训练及答案.docVIP

立体几何解答题训练 1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q-BP-C的余弦值． 2．如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上. (Ⅰ)求直线与平面所成的角的正切值; (Ⅱ)求二面角的正切值. 3.如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)设二面角为90°,求与平面所成角的大小. 4.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1，2，AB＝4. (1)证明：PQ⊥平面ABCD； (2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值． 5.在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 6.如图(1)，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.将图(1)沿直线BD折起，使得二面角A-BD-C为60°，如图(2)． (1)求证：AE⊥平面BDC； (2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值． 　 7.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)求二面角D-A1C-E的正弦值． 8.如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝，SE⊥AD. (1)证明：平面SBE⊥平面SEC； (2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值 答 案 1．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q-BP-C的余弦值． 解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz. (1)证明：依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)， 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以·＝0，·＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC. 又DQ∩DC＝D，所以PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. (2)依题意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量， 则即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 同理，设m是平面PBQ的法向量，则 可取m＝(1,1,1)． 所以cos〈m，n〉＝－. 故二面角QBPC的余弦值为－. 2．如图,在三棱锥中,,,,点在平面内的射影在上. (Ⅰ)求直线与平面所成的角的正切值; (Ⅱ)求二面角的正切值. (1)连接OC. 由已知,所成的角 设AB的中点为D,连接PD、CD. 因为AB=BC=CA,所以CDAB. 因为等边三角形, 不妨设PA=2,则OD=1,OP=, AB=4. 所以CD=2,OC=. 在Rttan (2)过D作DE于E,连接CE. 由已知可得,CD平面PAB. 据三垂线定理可知,CE⊥PA, 所以,. 由(1)知,DE= 在Rt△CDE中,tan 3如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,,,是上的一点,. (Ⅰ)证明:平面; (Ⅱ)设二面角为90°,求与平面所成角的大小. 解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. (Ⅰ)证明:由得, 所以,,,所以, .所以,,所以平面; (Ⅱ) 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为. 4.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1，2，AB＝4. (1)证明：PQ⊥平面ABCD； (2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值． [解]　(1)证明：如图，设AC∩BD＝O，连接OP，OQ，AC，BD. 因为P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥， 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD， 从而P、O、Q三点在一条直线上． 所以PQ⊥平面ABCD. (2)由题设知，四边形ABCD是正方形， 所以AC⊥BD. 由(1)知，PQ⊥平面ABCD，故可分别以CA，DB，QP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，由条件得P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，－2)，B(0，2，0)， 所以＝(－2，0，－2)，＝(0，2，－1)． 于是cos〈，〉＝＝. 从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.