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第四章-第四节-解析函数零点的孤立性
作 业 P180习题(一) 8, 11(2), (4) * * * * * * * 第四节 解析函数零点的孤立性 及唯一性定理 1. 解析函数零点的孤立性 2. 唯一性定理 第十六讲 一 解析函数的零点的孤立性 证明: “必要性” 由假设, 只要令 “充分性” 故由Taylor定理 从而 例1 解 例2 解 故 由 即 也即 得 因为 注: 一个实函数的零点不一定是孤立的. 如 但在复变函数中,解析函数的零点不可能是聚点，这是实变量函数与复变量函数的重大区别之一。 定理4.18 证明 则 定理4.18的逆否命题： 推论4.19 证明 注2 如 注1 二、 解析函数的唯一性 定理4.20 证明 对于一般情形可用“圆链法”来证明: a0=a an=b a1 at-1 a2 at K0 K1 Kt-1 Kt L Γ=эD D K2 Kn 由推论4.19有 这样连续下去,可依次证明在 推论4.21 例3 证明: 由惟一性定理 例4 解 则 由惟一性定理知: 故不存在. (2) 由于函数值点列有 显然它在原点解析, 故合条件的函数存在且为 推论4.22 例5 解 故由惟一性定理, 注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它提示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系. 数分中常见的一些初等函数的幂级数 展开式都可推广到复数域上来. 如 注1
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