2018年九年级数学（江西）北师大版下册：难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】.docVIP

难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】 ——代几结合，突破面积及点的存在性问题 类型一　抛物线与三角形的综合 一、求最值 1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题 2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标； (3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．【易错4】 3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 三、与面积相关的问题 4．如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为(　　) A．1 B. C. D. 5．★如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)求a，b的值； (2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)，写出四边形OACB的S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值． 类型二　抛物线与特殊四边形的综合 6．抛物线y＝－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是(　　) A．6，0) B．(6，0)C．(－9，0) D．(9，0) 7．如图，在平面直角坐标系中，沿着两条坐标轴摆着三个相同的矩形，其长、宽分别为4，2，则过A，B，C三点的拋物线的函数关系式是________________． 如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2(a＜0)上，则a的值为________． 9．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点． (1)建立适当的平面直角坐标系， ①直接写出O，P，A三点坐标； ②求抛物线l的解析式； (2)求OAE与△OCE面积之和的最大值． 1．解：(1)由题意得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. (2)∵点A与点C关于直线x＝2对称，∴连接BC与直线x＝2交于点P，则点P即为所求．根据抛物线的对称性可知点C的坐标为(3，0)．∵y＝x2－4x＋3，∴点B的坐标为(0，3)．设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴直线BC与直线x＝2的交点坐标为(2，1)，即点P的坐标为(2，1)． 2．解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y＝ax2＋bx＋c中，得解得∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－3. (2)当点P在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，此时点P的横坐标为－1，故点P的坐标为(1，0)． (3)点M的坐标为(1，－1)，(1，)，(1，－)，(1，0)．　解析：抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.设点M的坐标为(1，m)．已知A(－1，0)，C(0，－3)，则 MA2＝m2＋4，MC2＝(m＋3)2＋1＝m2＋6m＋10，AC2＝12＋32＝10.①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得m2＋4＝m2＋6m＋10，解得m＝－1；②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得m2＋4＝10，解得m＝±；③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得m2＋6m＋10＝10，解得m1＝0，m2＝－6，当m＝－6时，M，A，C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上所述，符合条件的点M的坐标为(1，－1)，(1，)，(1，－)，(1，0)． 3．(1)解1，1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.联立抛物线和直线解析式可得解得或B的坐标为(2，0)，点C的坐标为(－1，－3)． (2)证明：分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两