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必威体育精装版高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 例1求函数最大者定义域，并在平面上画出定义域的图形。 解：此函数可以看成两个函数与的乘积。 的定义域是 的定义域是，即。 从而的定义域是与定义域的公共部分，即 。 例2设当时求 解：代入时得即 所以 例3 求 解：法1 原式＝ 法2 化为一元函数的极限计算。令，则当 时，。 原式＝。 例4 求 解：法1 用夹逼准则。因为，所以 而，从而 于是 法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。 因为所以，又 所以 例5 研究 解：取路径，则由k是任意非零的常数，表明原极限不存在。 例6求函数的连续范围。 解：此函数为二元初等函数，因此它的连续范围就是它的定义域。即除去 的点集。即x0y平面上除去x轴、y轴及抛物线 的所有点外，函数都是连续的。 例7 已知，求与。 解：求时，视y为常数，按一元函数幂函数的求导法则，得 求时，因是关于y的幂指函数，视x为常数，按一元函数中幂指函数求导法则，两边取对数，得 对y求导得 从而， 例8 证明函数在点（0,0）处两个偏导数和 存在，但在该点不可微。 证明：因为 故和均存在。 ，当点沿着直线趋向原点（0,0）时，则，于是 当时，其极限不为零，即不是比高阶的无穷小，所以在点（0,0）不可微。 例9设满足，求。 解：其中为任意可微函数。又代入上式得 ，解得 故 例10 设可微，且当时，及 求当时的 解：因为当时，，所以故 例 11设可微，且 求。 解：得 故 例12 证明函数 （n为常数，可微）满足 。 证明：令 因为， 代入左端得 。 例13 设方程确定了函数，求与。 解：设 法1 公式法：（用复合函数的求导法则，x,y,z处于等同地位） 故 ， 法2 用隐函数求导法，方程两端对x求导，此时要注意z是x,y的函数。 ，即 ， 化简后可解得 。 同理可得。 法3 利用一阶全微分形式的不变性： 将方程两边求全微分得 ，即 ，化简得 ， 从而可得同样的结果。 例14设，而是由方程所确定的的函数，试证： 。 证明：由得， 又由得，代入解出即得结果。 或利用一阶微分形式的不变性： （1） （2） 消去含的项即可得结果。 例15 设具有二阶连续偏导数，求。 解：设，则 代入可得 。 例16求曲线在点处的切线及法线方程。 解：设x为参数，则曲线方程可表示为参数方式 在点处的切向量为： ， 切线方程为： 法平面方程为：。 例17求证锥面上任一点处的切平面都通过原点。 例18设f的一阶偏导数都连续且不同时为零，证明曲面 上的切平面都与某一定直线平行（ 不同时为0）. 证明：定直线为。 例19证明曲面上任一点的切平面平行于一条定直线。 解：此定直线的方向向量求在点处 例20求函数的最大值与最小值。 解：由 ，解得驻点为（—4,6）.此点在区域D外，故在区域D内无极值，所以此函数的最大值与最小值仅在边界上达到。 当时，（因为），则为单调减函数，故可能为最大值，为可能最小值。 当时，（因为），则为单调增函数，故可能为最小值，为可能最大值。 在两条边界上检验，可得出同样的结果，故 为最小值，为最大值。 例21求内接于椭球面的直立方体的最大体积。 解：设直立方体在第一卦限的顶点坐标为，则体积， 于是问题转化为在条件 下求函数的极值。若直接转化为无条件极值计算较较烦，为简化，转而讨论函数 在条件下的极值（因为当u取得最大值时，V亦取得最大值），即讨论函数 的（无条件）极值。 ，最大体积。 例22 在旋转椭球面上，求距平面为最近和最远的点。 解：设为旋转椭球面上的点，它到平面的距离为 故可作目标函数 限制条件为 或 作函数 令其三个偏导数为零并连同限制条件解得点 取正号的点为最近点，取负号的点为最远点。 例23抛物面被平面所截，得一椭圆，求此椭圆到原点的最大与最小距离。 解：可看作在条件与下，求距离的平方 的极值。令 令其各偏导数为零，并连同限制条件解得两点 例24 证明：曲面的切平面不会平行于直线 证明：直线的方向向量为 曲面上任一点的切平面的法向量为， 反证，若平行，则应有，得x=z，代入曲面方程得 在实数内无解，故得证。 例25 求函数的极值。 解：解方程组 求得驻点又 在点处， 故函数z在点处取得极大值 在点处，即在直线y=0上，当及时， 在确定点的足够小的邻域内也不