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河北省武邑中学2017-2018学年高二下学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数在上的最大值和最小值分别是 B． C. D． 2.设则的值分别是 B． C. D． 3.一批产品共50件，其中5件次品，45件正品，从这批产品中任取2件，则出现次品的概率为 B． C. D．以上都不对 4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有5.设，则函数单调递增区间为 B．和 C. D． 6.甲乙两类水果的质量）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是 A. 甲类水果的平均质量甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右甲类水果的平均质量比乙类水果的质量小乙类水果的质量服从正态分布的参数7.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形是正方形，分别是的中点，在此几何体中，给出下面四个结论直线与直线是异面直线直线与直线异面直线平面平面平面其中正确的有8.侧棱长都都相等的四棱锥中，下列结论正确的有个为正四棱锥各侧棱与底面所成角都相等各侧面与底面夹角都相等四边形可能为直角梯形9.由曲线与直线所围成的封闭图形面积为 B． C. 2 D． 10.如图，在矩形内记抛物线与直线围成的区域为图中阴影部分，往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是 A． B． C. D． 11.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 A.函数有极大值和极小值有极大值和极小值有极大值和极小值有极大值和极小值12.若，则在中，正数的个数是 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数在点处的导数为2，则14.已知直线与曲线相切，则的值为15.若在上是减函数，则的取值范围是16.设随机变量，其中，则设函数，其中已知在处取得极值.求的解析求在点处的切线方程18.已知复数，求的最大值和最小值19.已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点. （1）证明平面平面求二面角的余弦值20.已知二次函数，直线，直线其中为常数，若直线与函数的图象以及轴与函数的图象所围成的封闭图形阴影部分，如图所示 （1）求的值求阴影面积关于的函数的解析式21.某公司在新年晚会上举行抽奖活动，有甲乙两个抽奖方案供员工选择方案甲员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则结束，若中奖则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖规定若抛出硬币反面朝上员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖若正面朝上员工则需进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元若未中奖，则不能获得奖金方案员工连续三次，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元求员工选择方案甲进行抽奖所获奖金元的分布列试比较某员工选择方案甲与选择方案乙进行抽奖，哪个方案更划算？已知公司共有100人在活动中选择了方案，估计这些员工活动结束后没有获奖的人数在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，点的轨迹为写出的方程设直线与交于两点为何值时？此时的值是多少？ 15. 16. 三、解答题 17. 解. 因为在处取得极值，所以解得所以点在上由可知，，所以切线方程为 当时有最大值，当时有小值证明面由三垂线定理得. 因而，与面内两条相交直线都垂直面又面面面作垂足，连接在中，又， ∴，故为所求二面角的平面角，由三垂线定理得在中，所以在等腰三角形中， ∴∴. ∴ 故二面角余弦值为由图可知，二次函数的图象过点，并且，的最大值为16则由函数的解析式为由所以因为所以直线与的图象位于左侧的交点坐标为由定积分的几何意义知 21.解：（1）可能的取值为,, 所以员工选择方案甲进行抽奖所获奖金的分布列为 （2）由方案抽奖所获奖金的均值若选择方案进行抽奖中奖次数，则抽奖所获奖金的均值，故选择方案较划算由选择方案甲不获奖的概率为，这些员工不获奖的人数为，故员工不获奖的人数约为28人设，由椭圆定义可知，点的轨迹是以为焦点，以长半轴为的椭圆. 故椭圆的方程为联立消去整理， 设，则， 若则解得. . 故当时，此时