【全国区级联考】上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）数学试题（原卷版）.docVIP

虹口区2017学年度第二学期期中教学质量监控测试 高三数学　试卷　　 　 一．填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题5分，本大题满分54分） 1. 已知，，且，则实数的范围是___________． 2. 直线与直线互相平行，则实数________． 3. 已知，，则________． 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为，，，则________． 5. 已知函数 ，则_________． 6. 从集合随机取一个为，从集合随机取一个为，则方程表示双曲线的概率为 ___________． 7. 已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则 _______． 8. 若将函数表示成则的值等于___________． 9. 如图，长方体的边长 ， ，它的外接球是球，则，这两点的球面距离等于_________． 10. 椭圆的长轴长等于，短轴长等于，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_______. 11. 是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________． 12. 函数，对于且（），记，则的最大值等于____． 二．选择题（每小题5分，满分20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）． A. B. C. D. 14. 在中，，点、是线段的三等分点，点在线段上运动且满足，当取得最小值时，实数的值为（ ） A. B. C. D. 15. 直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（ ） A. B. 4 C. D. 8 16. 已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ） A. 不存在和使得 B. 不存在和使得 C. 不存在和使得 D. 不存在和使得 三．解答题（本大题满分76分） 17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，,，高等于3，点，，，为所在线段的三等分点． （1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积； （2）求异面直线，所成的角的大小． 18. 已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，. （1）若 ，求边长的值； （2）求面积的最大值. 19. 平面内的“向量列”，如果对于任意的正整数，均有，则称此“向量列”为“等差向量列”，称为“公差向量”.平面内的“向量列”，如果且对于任意的正整数，均有（），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数称为“公比”. （1）如果“向量列”是“等差向量列”，用和“公差向量”表示； （2）已知是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求． 20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆，点是椭圆上的任意一点，直线过点且是椭圆的“切线”. （1）证明：过椭圆上的点的“切线”方程是； （2）设，是椭圆长轴上的两个端点，点不在坐标轴上，直线，分别交轴于点，，过的椭圆的“切线”交轴于点，证明：点是线段的中点； （3）点不在轴上，记椭圆的两个焦点分别为和，判断过的椭圆的“切线”与直线，所成夹角是否相等？并说明理由． 21. 已知函数（，）， （）. （1）如果是关于的不等式的解，求实数的取值范围； （2）判断在和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数存在零点q，使得成立的充要条件是．