东大考研信号与系统第五章 复频3-6.pptVIP

拉氏变换的基本性质（1） 拉氏变换的基本性质（2） 例1：有始周期函数的拉氏变换 ... t f(t) 1 T/2 T 设f1(t)为第一个周期函数 一、部分分式展开法（Haviside展开法） 1、mn, D(s)=0无重根 假设D(s)=0的根为s1，s2， …，sn，则可以将F(s)表示为： 2、mn, D(s)=0有重根（假设s1为p重根）， 2、mn, D(s)=0有重根（假设s1为p重根）， 3、m=n时，先通过长除，将其变为一个关于s的真分式和多项式的和： 然后在用1、2方法求解。其中要用到： 用部分分式法求原信号f(t) 二、??? 留数法 1、设法将复平面中的线积分问题，转化为围线积分，从而可以用复变函数中的留数定理直接求得结果，避免求积分。 A C B B’ R S平面 ? jw 如果另外增加一条曲线，使其变为沿一个闭合曲线的积分，且延该曲线的积分为零。则L-1T就变成一个计算围线积分。 留数定理 问题是：是否有这样的曲线存在？怎样取? A S平面 B C B’ R ? jw 2、约当辅助定理 1） 2）est中的实部满足Re(st) ?0t； 有 或 t0，积分曲线为ABC t0，积分曲线为ABC 有 或 A S平面 B C B’ R ? jw F(s)est的极点就是F(s)的极点。 单边LT A S平面 B C R ? jw A C ? =?0 假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为： 3、留数计算： 假设sk是F(s)的n阶极点，则其留数为： 这时的解决方法：先用长除进行预处理！ 当F(s)不满足约当辅助定理条件1）时，不能用此方法求解。 注意： 例如：F(s)=1,F(s)=s,… 当F(s)满足m=n时，不能用此方法求解！ S1=0（二重） S2,3=?j2 Re s1= 例: 例: s1=0（二重） s2,3=?j2 Re s1= 1） 部分分式分解法只能解决有理函数，而留数法不受有理函数的限制； 2） 留数法不能解决m=n的情况，部分分式分解法可以； 3） 留数法在数学上比部分分式分解法严密。 部分分式分解法涉及的基础知识比留数法简单。 4、留数法与部分分式分解法比较： 三、极零点与极零图 1、 H(s) 的极点和零点 极点：使H(s)等于无穷大的s平面上的点，即D(s)=0的根。 零点：使H(s)等于零的s平面上的点，即N(s)=0的根。 j? × × × × × ? ? 在s平面上将H(s)的极点和零点全部标出后的图。 2、 H(s) 的极零图 j? × × × × × ? ? 关于实轴对称 从极零图分析时域特征 ? j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ３、极零图的特性： H(s) 的极点决定了其原函数中各个子信号的基本模式。 负实轴上的极点对应的时间函数如：e-?t，t e-?t ，t2 e-?t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 左半s平面内共轭极点对应于衰减振荡 e-?tsinwt， e-?t coswt ? 虚轴上共轭极点对应于等幅振荡； ? 正实轴上的极点对应于指数规律增长的波形； 右半s平面内共轭极点对应于增幅振荡。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? §5-6.拉普拉斯变换的基本性质 线性 微分 积分 时移 频移 尺度变换 终值定理 卷积定理 初值定理 例3： 一、微分性质 1. 时域导数性质 2.频域导数性质 二. 积分性质 复频域微分与积分 对参变量微分与积分 三.平移性质 1.时域平移(延迟定理) f(t)?(t) t t f(t-t0)?(t-t0) t0 f(t)?(t-t0) t t0 Re[s] 0 Re[s] ? Re[s] ? Re[s] ? Re[s] a Re[s] a §5-3 拉普拉斯变换的收敛区 Region of convergence 1、有始信号拉普拉斯变换的收敛区 2、左边信号拉普拉斯变换的收敛区 3、双边信号拉普拉斯变换的收敛区 收敛轴 收敛域 例1：求信号 单边拉氏变换 S平面 若存在?0 使 f1(t)=f(t) e-?t ? ?0 对右边函数f(t) ? ? 一、单边LT的收敛区（ ?0 ， +? ） s平面上的垂线Re(s)= ?0称为收敛边界（或收敛轴） jw ? ?0 收敛轴 收敛区 s平面 收敛区间一定是一个开区间，不包含收敛轴。 ?0可以为负。 收敛条件为? ?0 ?0称为收敛坐标 例2：单个脉冲信号（有限时间信号），收敛区间为整个s平面， ?∈（ - ? ， + ? ） 。 整个平面 单个脉冲的单边拉普拉斯变换是一定存在的 Re[s] -