2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第十三章　系列4选讲+13.2+Word版含答案.docVIP

§13.2　不等式选讲 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)． 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档. 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集 不等式 a0 a＝0 a0 |x|a (－a，a) ? ? |x|a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R (2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 3．不等式证明的方法 (1)比较法 ①作差比较法 知道ab?a－b0，ab?a－b0，因此要证明ab，只要证明a－b0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法 由ab0?1且a0，b0，因此当a0，b0时，要证明ab，只要证明1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法 从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法 从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x|c的解集为R，则c≤0.(　×　) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为?.(　√　) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．(　×　) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　) 题组二　教材改编 2．不等式3≤|5－2x|9的解集为(　　) A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案　D 解析　由题意得 即 解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)． 3．求不等式|x－1|－|x－5|2的解集． 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2， ∴－42，不等式恒成立，∴x≤1； ②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2， ∴x4，∴1x4； ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)． 题组三　易错自纠 4．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝. 答案　2 解析　∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为． 答案　9 解析　把a＋b＋c＝1代入到＋＋中， 得＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 6．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为． 答案　 解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2| ＝ 当x－2时，y＝－3x－15； 当－2≤x时，y＝－x＋3，y≤5； 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2. 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤， 故实数a的取值范围为. 题型一　绝对值不等式的解法 1．(2