2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第四章　三角函数、解三角形+4.5　两角和与差及二倍角的三角函数+第2课时+Word版含答案.docVIP

第2课时　简单的三角恒等变形 题型一　三角函数式的化简 1.·等于(　　) A．－sin α B．－cosα C．sin α D．cosα 答案　D 解析　原式＝ ＝＝cosα. 2．化简：＝. 答案　cos 2x 解析　原式＝ ＝ ＝ ＝＝cos 2x. 3．已知tan＝，且－α0，则＝. 答案　－ 解析　由tan＝＝，得tan α＝－. 又－α0，所以sin α＝－. 故＝ ＝2sin α＝－. 4．已知α为第二象限角，且tan α＋tan＝2tan αtan－2，则sin＝. 答案　－ 解析　由已知可得tan＝－2， ∵α为第二象限角， ∴sin＝，cos＝－， 则sin＝－sin ＝－sin ＝cossin－sincos ＝－. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点． 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 典例 (1)(2018·合肥模拟)tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　C 解析　tan 70°·cos 10°(tan 20°－1) ＝·cos 10° ＝· ＝＝＝－1. (2)已知cos＝，α，则的值为． 答案　－ 解析　＝ ＝ ＝sin 2α＝sin 2α·tan. 由α得α＋2π， 又cos＝， 所以sin＝－，tan＝－. cosα＝cos＝－，sin α＝－， sin 2α＝. 所以＝×＝－. (3)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝. 答案　 解析　∵α为锐角，∴sin α＝＝. ∵α，β∈，∴0α＋βπ. 又∵sin(α＋β)sin α，∴α＋β， ∴cos(α＋β)＝－. cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝＝. 命题点2　给值求角 典例 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cosβ＝－， ∴cosα＝－，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β＝0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈， ∴α＋β＝. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为． 答案　－ 解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝0， ∴0α. 又∵tan 2α＝＝＝0， ∴02α， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝1. ∵tan β＝－0， ∴βπ，－π2α－β0， ∴2α－β＝－. 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cosβ＝，则α＋β＝. 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cosα＝，sin β＝， ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin αsin β ＝×－×＝. 又0α＋βπ，∴α＋β＝. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法． (2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角． 跟踪训练 (1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0，则＝. 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cosα－3cos2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cosα)＝0， 又∵α∈，sin α＋cosα0， ∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1， ∴cosα＝，sin α＝， ∴ ＝＝＝. (2)(2017·昆明模拟)计算：－＝. 答案　－4 解析　原式＝＝＝＝－4. (3)定义运算＝ad－bc.若cosα＝， ＝，0βα，则β＝. 答案　 解析　由题意有sin αcosβ－cosαsin β＝sin(α－β)＝，又0βα，∴0α－β， 故cos(α－β)＝＝， 而cosα＝，∴sin α＝， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝×－×＝. 又0β，故β＝. 题型三　三角恒等变形的应用 典例 (2017·浙江)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcosx(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及递增区间． 解　(1)由sin＝，cos＝－，得 f＝2－2－2××＝2. (2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcosx，得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2si