2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ+第4讲　二次函数的再研究与幂函数.4+Word版含答案.docVIP

§2.4　二次函数与幂函数 必威体育精装版考纲 考情考向分析 1.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质． 2.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题． 3.了解幂函数的概念． 4.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况. 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度. 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)． 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0) 图像 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上是减少的； 在x∈上是增加的 在x∈上是增加的； 在x∈上是减少的 对称性 函数的图像关于x＝－对称 2.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量． (2)常见的5种幂函数的图像 (3)常见的5种幂函数的性质 函数　 特征　 性质　 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 知识拓展 1．幂函数的图像和性质 (1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性． (2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数． 2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)0，当时，恒有f(x)0. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　×　) (3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　) (4)函数y＝是幂函数．(　×　) (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　) (6)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　) 题组二　教材改编 2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点，则k＋α等于(　　) A. B．1 C. D．2 答案　C 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内是减少的，则a的取值范围是(　　) A．a≥3 B．a≤3 C．a＜－3 D．a≤－3 答案　D 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧， ∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D. 题组三　易错自纠 4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2， f(x)＝(a∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a－5)2－20，从而a＝4,5,6， 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C. 5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果abc且a＋b＋c＝0，则它的图像可能是(　　) 答案　D 解析　由a＋b＋c＝0和abc知，a0，c0， 由c0，排除A，B，又a0，排除C. 6．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______． 答案　－1 解析　函数y＝2x2－6x＋3的图像的对称轴为x＝1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上是减少的， ∴ymin＝2－6＋3＝－1. 题型一　求二次函数的解析式 典例 (1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案　f(x)＝x2－2x＋1 解析　依题意可设f(x)＝a(x－2)2－1， 又其图像过点(0,1)，∴4a－1＝1， ∴a＝，∴f(x)＝(x－2)2