福州五佳教育奥数精讲--第4讲 计算综合(二).docVIP

第4讲 计算综合（二） 本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数 1．n×(+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续个自然数的平方和的计算公式： 3．平方差公式：b2=(a+b)(a-b)． 已知a=a、b的大小 其中A=99,B=99+因为A，所以98+ 98+， 所以有a b． 2.试求的和？ 【分析与解】 记而 所以原式的和为1． 评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想． 试求1+23+4+…4+100的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．方法二：倒序相… 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1, 上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为10l×100 ÷2=5050．方法三：整数裂项(重点)， 原式=(1×22×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2 = = = =5050. 试l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100． 【分析与解】方法一：整数裂项 =(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3 =[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3 方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2 原式：1+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99 =12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 = =328350+4950 =333300． 5．计算下列式子的值： 01×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它1×3+24+3×5+46+…+9799+98×100。再除以100．方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.810.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×100)÷100 =[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100 =(×98×99×100+×98×99)÷100 =3234+48.51 =3282.51 方法二：可以使用平方差公式进行计算． 01×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+…+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l00)÷100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)÷100 =(11+22+32+42+52+…+992-99)÷100 =(×99×100×199-99)÷100 =16.5×199-0.99 =16.5×200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下 1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n =×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n-1)×n×3] =×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n-1)×n[n+1-(n-2)]} = = 6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔…+n2=×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有 减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是? = = = = = = = 7．计算下列式子的值： 【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然12+1=2; 所以原式=198012×2=396024． 计算17×18+18×19+19×20+…+29×30的值． 1到的平方和的公式(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358. 福州五佳教育，关爱每个孩子的成长 第 5 页 共 7 页