有限元第八讲.pptVIP

第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 1、结构稳定性的概念 2）失稳及失稳的种类： (1) 分枝型失稳 (2) 极值型失稳 (3) 跳跃型失稳 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 1、结构稳定性的概念 3）结构失稳的判别准则： 结构平衡的充要条件： 要判别平衡状态是否稳定，须考察总势能在平衡位置邻域的变化情况： 显然，若： 总势能为极小值，为稳定的平衡状态； 总势能为极大值，为不稳定的平衡状态； 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 1、结构稳定性的概念 3）结构失稳的判别准则： 若： 总势能为极小值，为稳定的平衡状态； 总势能为极大值，为不稳定的平衡状态； 为过渡状态，过渡后路径的稳定性，需考察更高阶变分的符号 在有限元素法中， 可表示为结点位移增量的二次型： 故可根据切线刚度矩阵的正定性判断结构的稳定类型 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 2、结构的线性屈曲分析 1）结构线性屈曲的概念： 以小位移线弹性假定为基础，结构的平衡建立在初始构形之上，当结构失稳时，结构变形突然跳到另一个平衡位置（因此都是分枝屈曲）。 实际结构的屈曲都是非线性的极值屈曲，但有很多结构的屈曲接近于线性分枝屈曲，线性屈曲分析在一定程度上能反应结构的稳定性能，线性屈曲荷载可看作非线性屈曲荷载的上限，同时线性屈曲分析可为非线性屈曲分析提供参考数据。 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 2、结构的线性屈曲分析 2）结构线性屈曲的基本方程： 根据失稳的定义，结构屈曲时，荷载增加一个微量，其位移发生很大变化，可得屈曲时的增量有限元平衡方程： 即： 结构屈曲时 必有不平凡解，要求： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 2、结构的线性屈曲分析 2）结构线性屈曲的基本方程： 结构线性屈曲分析假设屈曲前结构处于初始构形平衡状态，故初位移矩阵为零，而在小位移条件下，初应力矩阵与应力水平成正比，应力与外荷载也为线性关系，故可设： 其中 为参考荷载 对应的初应力矩阵， 为屈曲时的荷载参数， 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 2、结构的线性屈曲分析 2）结构线性屈曲的基本方程： 可得线性屈曲分析控制方程： 为广义特征值问题，可用上一章的解法求解特征值和特载向量，特征值对应结构的屈曲荷载，相应特征向量为结构的屈曲模态。 结构分析最关心的是最小特征值和相应的特征向量。 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 3、结构的非线性屈曲分析 1）概念： 非线性屈曲分析就是对结构的荷载－位移曲线进行全过程跟踪，从而确定，结构失稳的临界荷载、屈曲模态和屈曲后性能。 平衡路径全过程跟踪，包括前屈曲路径的跟踪，临界点的确定，临界点种类的判定，路径转换（分枝点）以及后屈曲路径的跟踪。 难点在于当荷载增至临界荷载时，结构切线刚度矩阵趋于奇异，平衡方程接近病态而无法求解，及加载、卸载、路径转换等。 第八章 几何非线性问题的有限单元法 四、结构的稳定问题 3、结构的非线性屈曲分析 2）极值型平衡路径跟踪： 弧长法 3）临界点的确定： 4）平衡路径的转换： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 以变形后的单元为对象，建立平衡方程。 结点位移： 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 横向位移v也引起单元的轴向变形，单元的线应变为： 式中右边第二项即为考虑大位移的非线性项。 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 由于单元只受轴力，不产生弯曲变形，故位移模式与以前学过的轴向拉压杆件的相同： 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 上式代入应变表达式，得： 于是： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 由： 可得： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 由： 得： 由： 得： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 1、杆单元的切线刚度矩阵 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 由： 且： 得： 于是： 第八章 几何非线性问题的有限单元法 2、梁单元的切线刚度矩阵 五、杆和梁单元的切线刚度矩阵 单元结点位移： 单元位移插值函数： 式中： * 更 正 1. 矩形平板型壳单元坐标转换矩阵： 2. 三角形平板型壳单元坐标转换矩阵： 第七章 动力问题有限单元法 一、结构的运动方程 二、结构的自振特性分析 三、结构的动力响应分析 第七章 动力问题有限