哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第1章 分析.pptVIP

　 系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点） 拉格朗日函数： 　 代入： 并适当化简得： 　 系统的运动微分方程。 上式为系统在平衡位置(x =0, ? =0)附近微幅运动的微分方程。 若系统在平衡位置附近作微幅运动，此时? 1o, cos? 1, sin? ?，略去二阶以上无穷小量，则 * * * * * * * * * 质点系在势力场中的情况。如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数： 虚功方程中各力的投影可以写成： 则有 这样，虚位移原理可表示为： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。 则广义力可写成用势能表示的形式 如果用广义坐标q1，q2，…，qN，表示质点系的位置，则质点系的势能可写成： 这样，由广义坐标表示的平衡条件可写成： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。 用势能表示的虚位移原理 （ ）和用广义坐标表示的平衡条件对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意义。 保守系统的平衡稳定性问题 稳定平衡 P P P 随遇平衡 不稳定平衡 都满足 在稳定平衡的平衡位置处，系统势能具有极小值。 在不稳定平衡位置上，系统势能具有极大值。 对于随遇平衡，系统势能在该位置附近保持不变。 对于一个自由度的系统，系统具有一个广义坐标q，因此系统势能可以表示为V=V(q)。系统平衡时有： 如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具有极小值，即 一个自由度系统平衡的稳定性判据。 习题1-3 如图所示，均质杆AB长 ,质量 ， 弹簧刚度系数 ，当杆与铅直方向夹角 时， 弹簧正好为原长,试求杆的平衡位置，并判断其稳定性。 解：取弹簧原长为零势能状态， 过B的水平面为重力势能零势面， 则任意 位置时系统势能: 由 ，有 可知 再由 为不稳定平衡位置; 为稳定平衡位置。 故 §1-3 动力学普遍方程 若质点系只受理想约束，则由虚位移原理： 设质点系有n个质点, 第i个质点：质量mi，矢径 ，加速度 ，主动力 , 约束力 , 令 为第i个质点的惯性力，由达朗贝尔原理 解析式： 在理想约束的条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作的功的和等于零。 上式即为动力学普遍方程。 动力学普遍方程将达朗贝尔原理与虚位移原理结合，可以求解质点系的动力学问题，特别适合求解非自由质点系的动力学问题。 例 三棱柱B沿三棱柱A的光滑斜面滑动，三棱柱A置于光滑水平面上，A和B的质量分别为M和m，斜面倾角为? 。试求三棱柱A的加速度。 解：研究两个三棱柱组成的系统。该系统受理想约束，具有两个自由度。 　 由动力学普遍方程： 系统为二自由度，取互不相关的 为独立虚位移，且 ，所以 解得： 例 已知重量 轮转动惯量 ，求加速度 ? 解：加惯性力，受主动力如图。 给连杆 ，则 由 有 例 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。 图(a) 解： 自由度k=2的理想约束系统，取两轮转角 为广义坐标，其受力与运动分析，如图(b)所示， 图(b) 令 ，由 (a) 有 (b) 将式(a)及 代入(b)式， 得 (c) 再令 由 有 联立 (c)和(d)式，可得 即 (d) 图(b) 由n个质点组成的系统受s个完整约束作用 系统具有N=3n-s个自由度，设q1、q2、……、qN为系统的一组广义坐标，可得 §1-4 第二类拉格朗日方程 对上式两边求变分，得 又 代入动力学普遍方程 对于完整约束系统， 是任意的，则 广义惯性力 两个变换式 上式两边对 求偏导数，即可得到变换式（1） 对t 求微分 而 若 的一阶和二阶偏导数连续，则 两个变换式 上式称为第二类拉格朗日方程，简称拉格朗日方程，为二阶常微分方程组，方程的数目等于质点系的自由度数。 如果作用在