44. 相似形 专项训练（二）.docVIP

第五章 相似形 专项训练(二) 【例题精选】： 例1：如图，已知在□ABCD中，AC、BD相交于O，过O作直线与AD、BC及AB延长线分别交于G、E、F若AB=6，AD=15，BF=12。 求：BE的长 分析：已知平行四边形对边平行，平行必然有相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，就可以求出线段的长，在这里由于BC//AD，显然(FBE∽(FAG，而已知条件给出AD的长，应该找一找BE和DG的关系，显然BE=DG。问题迎刃而解。 解：在(BOE和(DOG中， 答：BE的长为6。 例2：如图□ABCD中，O是DB中点，过O点作直线交CD于E交BC延长线于F，若AD=8，AB=6，CF=4 求：CE、DE 分析：求CE、DE的长由于给出AB=6，所以CE、DE只要求出其一，另一个也可求出，与上题不同的是，这里虽也给出平行四边形的条件，但不能直接应用产生相似三角形，所以还要通过做平行线的辅助线达到产生相似三角形的目的，因此中点O成为关键，通过点O作平行线既可以产生相似三角形，又可以产生中位线的效果，所以要注意这点的应用，过点O作BC的平行线或者作CD的平行线，均可以使本题得到解答。 解：过点O作OH//CD交BC于H点 答： 例3：正方形ABCD中，E是DC中点，于M，DC=4cm 求：AM的长 分析：要求AM的长，AM在Rt(AMB中，AB的长知道，而BM不知道，要通过勾股定理计算是不能解决问题的，而观察图形，可以发现Rt(BCE三边是可以求的，所以可以考虑(AMB与(BCE相似来解决这个问题而两个三角形中有两个角对应相等，这两个三角形便相似，问题到此得到解决。 解： 答：AM的长是。 例4：如图(ABC中，D是BC上一点，且 求：BD、CD的长 分析：由已知条件BD=CD+1，所以求BD、CD的长只需求出两者之一即可，而AC的长已知，把已知和未知联系在一起的是(ACD、(ABC，由ACB是这两个三角形的公共角可得出这两个三角形相似，然后建立边之间的比的关系，从而求得CD的长，使问题得到解决。 解：在(ACD和(BCA中， 例5：如图，梯形ABCD中 ，AD//BC，AE//BD，交CD延长线于E点，且AB=CD， 求证：AE∶ED=BD∶AB 分析：证四条线段成比例，可以利用平行线产生比例线段相似三角形产生比例线段，本题虽给出两组平行线，但要证AE∶ED=BD∶AB看来还是要在(AED和(ABD中，来解决问题，但考查已知条件后，这两个三角形也不具备相似的条件，联想到已知条件时AB=CD还没用上，转而证明(ADE和(BCD的相似问题，便得到了所要证明的结论。 证明：在(ADE和(BCD中： 例6：如图，B、C是一边上的两点，D、E是另一边上的两点，连BD、CE且延长交于F点，若AB∶AC=BD∶CE， 求证：DF=FE 分析：由已知AB∶AC=BD∶CE，但是(ABD和(ACE并不相似,如何使CE变到与BD平行的位置上问题就可以得到解决。 证明：过点C作CH//BD交ADE延长于H点 例7：如图，四边形ABCD中，连结AC、BD交于O点，延长BA、CD交于P点，连PO且延长交AD、BC于E，F点，若AD//BC 求证：AE=ED及BF=FC 分析：注意到题目中的AD//BC，要充分运用，有平行就有三角形相似，就有成比例的线段 证明： 例8：如图，E是AC上的中点，连ED且延长交AB延长线于F点，求证：AB∶AC=BF∶DF 分析：要证AB∶AC=BF∶DF，AB、AC在中，而BF，DF两边在中，很明显，这两个三角形是不会相似的，原因是一个是直角三角形，一个是一般三角形，那么必然要找一个中间的三角形，使它们建立联系，找到一个中间比，最后使问题得到解决。 证明： 例9：已知：如图1，在四边形ABCD和四边形A(B(C(D(中, ，且 求证：四边形ABCD∽四边形A(B(C(D( 分析：已知四组对应角相等，根据相似多边形定义，只需证四组对应边成比例。由已知，故连结BD，B(D(，可证 证明：连结BD，B(D( 在 （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） （两角对应相等，两三角形相似） 例10：已知：如图2，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB上一点，EF//BC，且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相似。若AD=4，BC=9，S梯形AEFD=a。 求：S梯形ABCD 分析：已知梯形AEFD的面积，故只需求出梯形EBCF的面积。又梯形AEFD∽梯形EBCF，则它们的面积比等于相似比的平方。关键是求出