02. 一元二次方程专项训练(二).docVIP

第十二章 一元二次方程专项训练(二) 【例题精选】： 例1 不解方程，判断以下各方程根的情况 （1） （2） （3） 分析：此例给出的方程都是一元二次方程，要判断其根的情况：?首先应将所给方程化成为标准形式；?然后不必求出方程的根，也不必求出的具体数值，只要能判定值的符号就可以了。 解：（1）移项：原方程化为： ∴原方程有两个不相等的实数根 （2）∵ ∴原方程无实数根。 （3）原方程可化为： ∵ ∴原方程有两个相等的实数根。 例2 不解方程，判断下列关于x的方程根的情况 （1） （2） 分析：此例与例1的不同之处在于这是含参数关于的一元二次方程，解题过程除按例1所述方法外，还应注意二次项系数这个隐含条件。 解：（1） （2） （配方） ∴原方程有两个不相等的实根 说明：要判断含字母的二次式的正、负等情况时，配方是一种有效的方法。如例2的（2）。 例3 已知关于的方程 有两个不相等的实根，求的取值范围。 分析：这是一个关于的含参数的一元二次方程，根据已知条件，可列出关于参数a的不等式，但必须要注意题目的隐含条件。 解： 即：当原方程有两个不相等的实根。 例4 已知为实数，求证关于x的方程 有两个不相等的实数根。 证明： 例5 关于的一元二次方程若有一个根为2， 求：求另一个根和的值。 分析：此例已知方程的一个根，可利用这个根，先确定t的值，再求另一个根。也可利用根与系数的关系来求t的值及另一个根。 解法一： 解法二： 设方程的另一个根是，由根与系数的关系： 。 例6 求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是方程两根的相反数。 解：设所求的方程为. 由根与系数关系有： 例7 已知一个一元二次方程的两根差为4，且两根积为－3，求此一元二次方程。 分析：由已知得方程两根之积为－3，那么确定方程的关键是确定两根之和。 设所求方程为其根为由于，所以可求出的值，进而得方程。注意此题有两解。 解：设所求一元二次方程为 由题意 由根与系数关系 或 前面，我们只是应用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决了一些简单的问题。实际上，在确定方程参数，以及许多综合问题中，它们也起着关键性的作用。 例8 关于有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：先要求出方程有实根的范围，这是前提条件，也是隐含条件，必须注意到，在列出表示“两根的平方和比两根之积大21”的一个等式，解出m的值，然后在方程有实根的条件下，归纳出m的允许取值。 解： 由根与系数的关系，得： 根据题意，得： 解这个方程，得 【专项训练】： 一、填空（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 1、一元二次方程是否有实数根，由式子 的值决定，当 时，有实数根；当 时，没有实数根。 2、关于x的一元二次方程 = 0有相等的实数根时， 。 3、关于有不相等的实数根时，的取值范围是 。 4、关于没有实数根时，的取值范围是 。 5、设= ，= 。 6、关于x的方程的两个实根互为相反数，则 ，这两个实根是 和 。 7、关于x的方程的两个实根互为倒数，则 ，这两个实根是 和 。 8、若关于x的方程的一个根是－2，则 ，另一个根是 。 二、解答下列各题（本题5小题，每题8分，共40分） 1、关于有相等的实数根时，求的值。 2、关于。 3、关于有两个不相等的实根，求的取值范围。 4、不解方程，求作一个新方程，使新方程的根分别为方程的两个根的倒数。 5、已知关于x的方程的两个实数根为，求式子的值。 三、证明下列各题（本题共2题，每题7分，共14分） 1、关于必有实根。 2、关于必有相异的实根。 四、（本题20分） 已知关于x的方程的两个实根的平方和是，求m的值。 【答案】： 一、填空： 1、 2、 3、 4、 5、 6、b = 0, 两实根是 7、 8、m = －2, 另一根是. 二、解答下列各题： 1、 2、 3、提示：由 但由于方程为一元二次方程：. 4、 5、 三、证明下列各题： 1、提示 2、 四、 解：设两实根 其中使方程无实根，所以取.